Номер 13, страница 143 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. Отметьте пять точек $M, N, P, T, K$, которые не лежат на одной прямой. Определите, сколько четырёхугольников можно построить с вершинами в данных точках.

Определение количества четырёхугольников, которые можно построить с вершинами в данных точках

Для построения четырёхугольника необходимо выбрать 4 вершины из 5 заданных точек (M, N, P, T, K). Порядок, в котором мы выбираем вершины, не имеет значения для определения самого многоугольника. Следовательно, задача сводится к нахождению числа сочетаний из 5 элементов по 4.

Число сочетаний из n элементов по k (то есть количество способов выбрать k элементов из множества n без учёта порядка) вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n=5$, а для построения четырёхугольника нам нужно выбрать $k=4$ точки. Подставим эти значения в формулу:

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 5$

Этот же результат можно получить, рассуждая иначе: выбрать 4 точки из 5 — это то же самое, что и выбрать 1 точку, которая не будет являться вершиной четырёхугольника. Поскольку у нас 5 точек, существует 5 способов выбрать одну точку, которую мы исключим.

Условие, что точки «не лежат на одной прямой», является важным. Чтобы из любых четырёх выбранных точек можно было построить четырёхугольник, необходимо, чтобы никакие три из этих пяти точек не лежали на одной прямой (такое расположение точек называется «общим положением»). В стандартных формулировках подобных задач это условие подразумевается, если не оговорено иное. При выполнении этого условия любая комбинация из 4 точек будет образовывать вершины четырёхугольника.

Таким образом, из 5 точек в общем положении можно составить 5 различных четырёхугольников.

Ответ: 5