Номер 13, страница 153 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

13. а) Среднее арифметическое трёх чисел равно $2\frac{3}{5}$.
Первое число в $1\frac{1}{2}$ раза меньше второго, а второе на $1\frac{2}{5}$ меньше третьего. Найдите эти числа.

б) Среднее арифметическое трёх чисел равно $6\frac{1}{5}$.
Первое число в $1\frac{1}{5}$ раза меньше второго, а второе на $1\frac{3}{5}$ меньше третьего. Найдите эти числа.

а)

Обозначим три искомых числа как $n_1$, $n_2$ и $n_3$.

1. Найдём сумму трёх чисел.

Среднее арифметическое трёх чисел равно их сумме, делённой на 3. По условию, оно равно $2\frac{3}{5}$.

Сумма чисел: $(n_1 + n_2 + n_3) = 3 \cdot 2\frac{3}{5} = 3 \cdot \frac{13}{5} = \frac{39}{5} = 7\frac{4}{5}$.

2. Составим систему уравнений.

Пусть второе число будет $n_2 = x$.

Первое число $n_1$ в $1\frac{1}{2}$ раза меньше второго, значит $n_1 = x \div 1\frac{1}{2} = x \div \frac{3}{2} = \frac{2}{3}x$.

Второе число $n_2$ на $1\frac{2}{5}$ меньше третьего, значит третье число $n_3$ на $1\frac{2}{5}$ больше второго: $n_3 = x + 1\frac{2}{5} = x + \frac{7}{5}$.

3. Решим уравнение.

Подставим выражения для $n_1$, $n_2$ и $n_3$ в уравнение для их суммы:

$\frac{2}{3}x + x + (x + \frac{7}{5}) = \frac{39}{5}$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и числовые слагаемые:

$(\frac{2}{3} + 1 + 1)x + \frac{7}{5} = \frac{39}{5}$

$(\frac{2}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3})x = \frac{39}{5} - \frac{7}{5}$

$\frac{8}{3}x = \frac{32}{5}$

Теперь найдём $x$ (второе число):

$x = \frac{32}{5} \div \frac{8}{3} = \frac{32}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$.

4. Найдём остальные числа.

Первое число: $n_1 = \frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$.

Третье число: $n_3 = x + \frac{7}{5} = \frac{12}{5} + \frac{7}{5} = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$.

Таким образом, искомые числа: $1\frac{3}{5}$, $2\frac{2}{5}$ и $3\frac{4}{5}$.

Ответ: $1\frac{3}{5}$, $2\frac{2}{5}$, $3\frac{4}{5}$.

б)

Обозначим три искомых числа как $n_1$, $n_2$ и $n_3$.

1. Найдём сумму трёх чисел.

Среднее арифметическое по условию равно $6\frac{1}{5}$.

Сумма чисел: $(n_1 + n_2 + n_3) = 3 \cdot 6\frac{1}{5} = 3 \cdot \frac{31}{5} = \frac{93}{5} = 18\frac{3}{5}$.

2. Составим систему уравнений.

Пусть второе число будет $n_2 = y$.

Первое число $n_1$ в $1\frac{1}{5}$ раза меньше второго, значит $n_1 = y \div 1\frac{1}{5} = y \div \frac{6}{5} = \frac{5}{6}y$.

Второе число $n_2$ на $1\frac{3}{5}$ меньше третьего, значит третье число $n_3$ на $1\frac{3}{5}$ больше второго: $n_3 = y + 1\frac{3}{5} = y + \frac{8}{5}$.

3. Решим уравнение.

Подставим выражения для $n_1$, $n_2$ и $n_3$ в уравнение для их суммы:

$\frac{5}{6}y + y + (y + \frac{8}{5}) = \frac{93}{5}$

Сгруппируем слагаемые:

$(\frac{5}{6} + 1 + 1)y + \frac{8}{5} = \frac{93}{5}$

$(\frac{5}{6} + \frac{6}{6} + \frac{6}{6})y = \frac{93}{5} - \frac{8}{5}$

$\frac{17}{6}y = \frac{85}{5}$

$\frac{17}{6}y = 17$

Теперь найдём $y$ (второе число):

$y = 17 \div \frac{17}{6} = 17 \cdot \frac{6}{17} = 6$.

4. Найдём остальные числа.

Первое число: $n_1 = \frac{5}{6}y = \frac{5}{6} \cdot 6 = 5$.

Третье число: $n_3 = y + \frac{8}{5} = 6 + \frac{8}{5} = 6 + 1\frac{3}{5} = 7\frac{3}{5}$.

Таким образом, искомые числа: $5$, $6$ и $7\frac{3}{5}$.

Ответ: $5$, $6$, $7\frac{3}{5}$.