Номер 117, страница 176 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

117. Множество $A$ состоит из 70 элементов (рис. 16), множество $B$ — из 100 элементов, а множество $A \cap B$ — из 12 элементов. Используя модель условия задачи с помощью кругов Эйлера, найдите:

$A - 70$

? $12$ ?

$B - 100$

Рисунок 16

а) сколько элементов принадлежит множеству $A$, но не принадлежит множеству $B$;

б) сколько элементов принадлежит множеству $B$, но не принадлежит множеству $A$;

в) сколько элементов принадлежит множеству $A \cup B$.

Для решения этой задачи воспользуемся предоставленной диаграммой Эйлера и основными формулами теории множеств.
Из условия нам известно:
Количество элементов в множестве A (мощность множества A): $|A| = 70$.
Количество элементов в множестве B (мощность множества B): $|B| = 100$.
Количество элементов в пересечении множеств A и B (общие элементы): $|A \cap B| = 12$.

а) сколько элементов принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B;
Это количество элементов, которые находятся только в множестве A. На диаграмме Эйлера это левая часть круга A, которая не пересекается с кругом B. Чтобы найти это число, нужно из общего числа элементов множества A вычесть число элементов, которые принадлежат также и множеству B (то есть их пересечению).
Математически это записывается как мощность разности множеств $A \setminus B$.
Формула: $|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$.
Подставляем значения: $70 - 12 = 58$.
Ответ: 58

б) сколько элементов принадлежит множеству B, но не принадлежит множеству A;
Это количество элементов, которые находятся только в множестве B. На диаграмме это правая часть круга B, которая не пересекается с кругом A. Расчет аналогичен предыдущему пункту: из общего числа элементов множества B вычитаем число общих элементов.
Математически это записывается как мощность разности множеств $B \setminus A$.
Формула: $|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$.
Подставляем значения: $100 - 12 = 88$.
Ответ: 88

в) сколько элементов принадлежит $A \cup B$.
Это общее количество элементов в объединении множеств A и B. Чтобы найти это число, можно сложить количество элементов в трех непересекающихся областях на диаграмме: элементы, принадлежащие только A; элементы, принадлежащие только B; и элементы, принадлежащие обоим множествам.
$|A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B|$.
Подставляем найденные ранее значения: $58 + 88 + 12 = 158$.
Также можно использовать формулу включений-исключений, которая позволяет избежать двойного подсчета общих элементов:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
Подставляем исходные значения: $70 + 100 - 12 = 170 - 12 = 158$.
Ответ: 158