Номер 69, страница 165 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

69. В двух четырёхзначных числах цифры в их записи расположены в порядке возрастания соответствующих им однозначных чисел. Из цифр, которыми записано каждое из чисел, составлены два множества. Пересечением этих множеств является множество ${3, 4, 7}$, объединением множеств является множество ${3, 4, 5, 7, 8}$. Найдите заданные четырёхзначные числа.

Обозначим множество цифр первого четырехзначного числа как $A$, а множество цифр второго числа — как $B$. Каждое из этих множеств состоит из четырёх различных цифр, так как по условию цифры в числах расположены в порядке возрастания, что исключает их повторение.

Из условия задачи нам известны пересечение и объединение этих множеств:

• Пересечение множеств: $A \cap B = \{3, 4, 7\}$. Это означает, что цифры 3, 4 и 7 являются общими для обоих чисел.
• Объединение множеств: $A \cup B = \{3, 4, 5, 7, 8\}$. Это множество содержит все уникальные цифры, которые используются в записи двух чисел.

Чтобы найти цифры, которые отличают одно множество от другого, найдём элементы, которые принадлежат объединению, но не принадлежат пересечению. Эта операция называется симметрической разностью множеств.

$(A \cup B) \setminus (A \cap B) = \{3, 4, 5, 7, 8\} \setminus \{3, 4, 7\} = \{5, 8\}$

Результат $\{5, 8\}$ показывает, что цифра 5 принадлежит только одному из множеств, а цифра 8 — только другому. Таким образом, мы можем определить полный состав множеств $A$ и $B$. Каждое множество будет содержать общие цифры $\{3, 4, 7\}$ и одну из уникальных цифр $\{5, 8\}$.

Получаем два множества цифр:

• Первое множество: $A = \{3, 4, 7\} \cup \{5\} = \{3, 4, 5, 7\}$
• Второе множество: $B = \{3, 4, 7\} \cup \{8\} = \{3, 4, 7, 8\}$

Согласно условию, цифры в каждом четырехзначном числе записаны в порядке возрастания. Следовательно, мы должны расположить цифры из каждого множества по возрастанию, чтобы получить искомые числа.

Первое четырёхзначное число. Ответ: 3457

Второе четырёхзначное число. Ответ: 3478