Номер 33, страница 282 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

33. Выполните необходимые измерения и вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 13, а–д).

а

б

в

г

д

Рисунок 13

Для решения задачи необходимо выполнить измерения и вычислить площади закрашенных фигур. Поскольку реальные измерения невозможны, мы примем условные размеры для каждой фигуры, которые являются правдоподобными, и выполним вычисления на их основе. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx \frac{22}{7}$.

а) Закрашенная фигура представляет собой прямоугольник, из которого вырезан круг. Для нахождения ее площади нужно из площади прямоугольника вычесть площадь круга.

Примем, что стороны прямоугольника равны $a = 4 \text{ см}$ и $b = 2 \text{ см}$, а радиус внутреннего круга $r = 0,5 \text{ см}$.

Площадь прямоугольника: $S_{\text{прям}} = a \times b = 4 \times 2 = 8 \text{ см}^2$.

Площадь круга: $S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \times (0,5)^2 = 0,25\pi \text{ см}^2$.

Площадь закрашенной фигуры:

$S_a = S_{\text{прям}} - S_{\text{круга}} = 8 - 0,25\pi = 8 - \frac{1}{4}\pi$.

Подставим значение $\pi \approx \frac{22}{7}$:

$S_a = 8 - \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} = 8 - \frac{11}{14} = \frac{112}{14} - \frac{11}{14} = \frac{101}{14} = 7 \frac{3}{14} \text{ см}^2$.

Ответ: 7 $\frac{3}{14} \text{ см}^2$.

б) Закрашенная фигура представляет собой квадрат, из которого вырезан вписанный в него круг. Площадь фигуры равна разности площадей квадрата и круга.

Примем, что сторона квадрата равна $a = 3 \text{ см}$. Радиус вписанного круга будет равен половине стороны квадрата: $r = \frac{a}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \text{ см}$.

Площадь квадрата: $S_{\text{кв}} = a^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2$.

Площадь круга: $S_{\text{круга}} = \pi r^2 = \pi \times (1,5)^2 = 2,25\pi = \frac{9}{4}\pi \text{ см}^2$.

Площадь закрашенной фигуры:

$S_б = S_{\text{кв}} - S_{\text{круга}} = 9 - \frac{9}{4}\pi$.

Подставим значение $\pi \approx \frac{22}{7}$:

$S_б = 9 - \frac{9}{4} \times \frac{22}{7} = 9 - \frac{9 \times 11}{2 \times 7} = 9 - \frac{99}{14} = \frac{126}{14} - \frac{99}{14} = \frac{27}{14} = 1 \frac{13}{14} \text{ см}^2$.

Ответ: 1 $\frac{13}{14} \text{ см}^2$.

в) Закрашенная фигура представляет собой круг, из которого вырезан вписанный в него квадрат. Площадь фигуры равна разности площадей круга и квадрата.

Примем, что радиус круга равен $R = 2 \text{ см}$. Диагональ вписанного квадрата равна диаметру круга, то есть $d = 2R = 4 \text{ см}$.

Площадь круга: $S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ см}^2$.

Площадь квадрата можно найти через его диагональ: $S_{\text{кв}} = \frac{d^2}{2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}^2$.

Площадь закрашенной фигуры:

$S_в = S_{\text{круга}} - S_{\text{кв}} = 4\pi - 8$.

Подставим значение $\pi \approx \frac{22}{7}$:

$S_в = 4 \times \frac{22}{7} - 8 = \frac{88}{7} - \frac{56}{7} = \frac{32}{7} = 4 \frac{4}{7} \text{ см}^2$.

Ответ: 4 $\frac{4}{7} \text{ см}^2$.

г) Закрашенная фигура представляет собой прямоугольник, из которого вырезан полукруг. Площадь фигуры равна разности площади прямоугольника и площади полукруга.

Примем, что стороны прямоугольника равны $w = 3 \text{ см}$ (ширина) и $h = 2 \text{ см}$ (высота). Диаметр полукруга равен высоте прямоугольника, $d = h = 2 \text{ см}$, следовательно, его радиус $r = \frac{d}{2} = 1 \text{ см}$.

Площадь прямоугольника: $S_{\text{прям}} = w \times h = 3 \times 2 = 6 \text{ см}^2$.

Площадь полукруга: $S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi \times 1^2 = \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.

Площадь закрашенной фигуры:

$S_г = S_{\text{прям}} - S_{\text{полукруга}} = 6 - \frac{\pi}{2}$.

Подставим значение $\pi \approx \frac{22}{7}$:

$S_г = 6 - \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} = 6 - \frac{11}{7} = \frac{42}{7} - \frac{11}{7} = \frac{31}{7} = 4 \frac{3}{7} \text{ см}^2$.

Ответ: 4 $\frac{3}{7} \text{ см}^2$.

д) Закрашенная фигура представляет собой полукруг, из которого вырезан прямоугольник. Площадь фигуры равна разности площади полукруга и площади прямоугольника.

Примем, что радиус полукруга $R = 2,5 \text{ см}$. Ширина вписанного прямоугольника $w = 4 \text{ см}$. Высоту $h$ найдем из прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является радиус $R$, а катетами — высота $h$ и половина ширины $\frac{w}{2}$.

По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{w}{2})^2 = R^2$.

$h^2 + (\frac{4}{2})^2 = (2,5)^2 \implies h^2 + 2^2 = 6,25 \implies h^2 + 4 = 6,25 \implies h^2 = 2,25 \implies h = 1,5 \text{ см}$.

Площадь полукруга: $S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi (2,5)^2 = \frac{1}{2}\pi \times 6,25 = \frac{1}{2}\pi \times \frac{25}{4} = \frac{25\pi}{8} \text{ см}^2$.

Площадь прямоугольника: $S_{\text{прям}} = w \times h = 4 \times 1,5 = 6 \text{ см}^2$.

Площадь закрашенной фигуры:

$S_д = S_{\text{полукруга}} - S_{\text{прям}} = \frac{25\pi}{8} - 6$.

Подставим значение $\pi \approx \frac{22}{7}$:

$S_д = \frac{25}{8} \times \frac{22}{7} - 6 = \frac{25 \times 11}{4 \times 7} - 6 = \frac{275}{28} - \frac{168}{28} = \frac{107}{28} = 3 \frac{23}{28} \text{ см}^2$.

Ответ: 3 $\frac{23}{28} \text{ см}^2$.