Номер 2.107, страница 57, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.107. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 13 и 26; б) 8 и 12; в) 60 и 75; г) 64 и 128; д) 3375 и 5625.

2.107

а) НОД (13; 26) = 13, т.к. 26 делится на 13 без остатка

б)

$$\begin{gathered} 8 = 2 · 2 · 2 \\ 12 = 2 · 2 · 3 \\ \mathrm{НОД} (8; 12) = 2 · 2 = 4 \end{gathered}$$

в)

$$\begin{gathered} 60 = 2 · 2 · 3 · 5 \\ 75 = 3 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОД} (60; 75) = 3 · 5 = 15 \end{gathered}$$

г) НОД (64; 128) = 64, т.к. 128 делится на 64 без остатка

д)

$$\begin{gathered} 3375 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 \\ 5625 = 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5 \\ \mathrm{НОД} (3375; 5625) =3 · 3 · 5 · 5 · 5 = 1125 \end{gathered}$$

а) 13 и 26
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 13 и 26, нужно найти самое большое натуральное число, на которое делятся оба этих числа. Заметим, что число 26 делится на 13 без остатка: $26 \div 13 = 2$. Поскольку 13 является делителем и для 13, и для 26, и при этом является наибольшим возможным делителем для самого числа 13, то НОД(13, 26) равен 13.
Ответ: 13

б) 8 и 12
Для нахождения НОД чисел 8 и 12 разложим их на простые множители. Разложение числа 8: $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$. Разложение числа 12: $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$. Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, который встречается в разложениях. Общий множитель — это 2. Наименьший показатель степени для 2 в разложениях — это 2 (из разложения числа 12). Следовательно, НОД(8, 12) = $2^2 = 4$.
Ответ: 4

в) 60 и 75
Разложим числа 60 и 75 на простые множители. Разложение числа 60: $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5$. Разложение числа 75: $75 = 3 \times 25 = 3 \times 5 \times 5 = 3 \times 5^2$. Общие простые множители в обоих разложениях — это 3 и 5. Берем каждый общий множитель с наименьшим показателем степени: $3^1$ и $5^1$. НОД(60, 75) = $3 \times 5 = 15$.
Ответ: 15

г) 64 и 128
В этом случае можно заметить, что число 128 является кратным числу 64, так как $128 = 2 \times 64$. Если одно число делится на другое нацело, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих двух чисел. Таким образом, НОД(64, 128) = 64.
Ответ: 64

д) 3375 и 5625
Для нахождения НОД больших чисел удобно использовать разложение на простые множители или алгоритм Евклида. Воспользуемся разложением на множители. Разложение числа 3375: $3375 = 5 \times 675 = 5 \times 5 \times 135 = 5 \times 5 \times 5 \times 27 = 5^3 \times 3^3$. Разложение числа 5625: $5625 = 5 \times 1125 = 5 \times 5 \times 225 = 5 \times 5 \times 5 \times 45 = 5^4 \times 9 = 5^4 \times 3^2$. Запишем разложения: $3375 = 3^3 \times 5^3$ $5625 = 3^2 \times 5^4$ Общие простые множители — это 3 и 5. Выберем для каждого наименьшую степень: для 3 это $3^2$, для 5 это $5^3$. НОД(3375, 5625) = $3^2 \times 5^3 = 9 \times 125 = 1125$.
Ответ: 1125