Номер 2.491, страница 108, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.491. Запишите число, которое больше своего обратного числа в: 3 раза; 11 раз.

2.491

а) Пусть $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ -число, тогда $\frac{b}{a}$-обратное ему.

Тогда $\frac{a}{b} : \frac{b}{a} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^2 = 3.$

Но нет такого числа, квадрат которого равен 3.

б) Пусть $\frac{a}{b}$-число, тогда $\frac{b}{a}$ -обратное ему.

Тогда $\frac{a}{b} : \frac{b}{a} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^2 = 11.$

Но нет такого числа, квадрат которого равен 11.

3 раза

Пусть искомое число — это $x$. Число, обратное ему, равно $\frac{1}{x}$.
По условию задачи, число $x$ в 3 раза больше своего обратного числа. Это можно записать в виде уравнения:
$x = 3 \cdot \frac{1}{x}$
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):
$x \cdot x = \frac{3}{x} \cdot x$
$x^2 = 3$
Из этого уравнения следует, что существует два возможных решения: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.
Теперь необходимо проверить, какое из этих чисел удовлетворяет условию "больше своего обратного числа".
1. Для $x = \sqrt{3}$, обратное число равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то верно неравенство $\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно, $x = \sqrt{3}$ является решением.
2. Для $x = -\sqrt{3}$, обратное число равно $-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Сравним эти два отрицательных числа. Так как $\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$, то при умножении на -1 знак неравенства меняется: $-\sqrt{3} < -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Следовательно, $x = -\sqrt{3}$ не является решением.
Таким образом, искомое число равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

11 раз

Решаем аналогично первому случаю. Пусть искомое число — это $x$. Его обратное — $\frac{1}{x}$.
Составим уравнение согласно условию, что число в 11 раз больше своего обратного:
$x = 11 \cdot \frac{1}{x}$
Умножим обе части на $x$ (где $x \neq 0$):
$x^2 = 11$
Возможные решения: $x = \sqrt{11}$ и $x = -\sqrt{11}$.
Проверим, какое из чисел больше своего обратного.
1. Для $x = \sqrt{11}$, обратное число равно $\frac{1}{\sqrt{11}}$. Так как $\sqrt{11} > 1$, то $\sqrt{11} > \frac{1}{\sqrt{11}}$. Это решение подходит.
2. Для $x = -\sqrt{11}$, обратное число равно $-\frac{1}{\sqrt{11}}$. Так как $\sqrt{11} > \frac{1}{\sqrt{11}}$, то $-\sqrt{11} < -\frac{1}{\sqrt{11}}$. Это решение не подходит.
Следовательно, искомое число равно $\sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{11}$.