Номер 4.323, страница 59, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4.323. Проверьте справедливость равенства |ab| = |а| · |b| при а = 0,1; b = –2 и при а = – 12; b = 3. Докажите, что равенство |ab| = |а| · |b| верно при любых значениях а и b.

4.323

$$\begin{gathered} \left|ab\right| = \left|a\right|·\left|b\right| \\ а = 0,1, b = -2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} |0,1 · (-2\left)\right|=|-0,2|=0,2; \\ |0,1| · |-2|=0,1 · 2=0,2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} а = -\frac{1}{2}, b= 3 \\ \left|-\frac{1}{2} · 3\right| = \left|-1,5\right| = 1,5; \\ \left|-\frac{1}{2}\right| · \left|3\right| = \frac{1}{2} · 3 = 1,5 \end{gathered}$$

$\left|ab\right|$ - является положительным числом при любых знаках чисел а и b и равен модулю произведения чисел а и b

$\left|а\right| · \left|b\right|$ - является положительным числом при любых знаках чисел а и b и равен произведению модулей чисел а и b

При $a = 0,1; b = -2$

Проверим справедливость равенства $|ab| = |a| \cdot |b|$, подставив в него указанные значения.

Вычислим значение левой части равенства:
$|ab| = |0,1 \cdot (-2)| = |-0,2| = 0,2$.

Вычислим значение правой части равенства:
$|a| \cdot |b| = |0,1| \cdot |-2| = 0,1 \cdot 2 = 0,2$.

Сравниваем полученные значения: $0,2 = 0,2$. Равенство выполняется.

Ответ: равенство справедливо.

При $a = -\frac{1}{2}; b = 3$

Проверим справедливость равенства $|ab| = |a| \cdot |b|$, подставив в него указанные значения.

Вычислим значение левой части равенства:
$|ab| = |-\frac{1}{2} \cdot 3| = |-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$.

Вычислим значение правой части равенства:
$|a| \cdot |b| = |-\frac{1}{2}| \cdot |3| = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.

Сравниваем полученные значения: $\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$. Равенство выполняется.

Ответ: равенство справедливо.

Докажите, что равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ верно при любых значениях $a$ и $b$.

Для доказательства данного тождества нужно рассмотреть все возможные случаи, основанные на знаках чисел $a$ и $b$.

Случай 1: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
В этом случае их произведение $ab \ge 0$. Согласно определению модуля: $|a|=a$, $|b|=b$ и $|ab|=ab$.
Подставляя эти значения в исходное равенство, получаем $ab = a \cdot b$, что является верным.

Случай 2: $a < 0$ и $b < 0$.
В этом случае их произведение $ab > 0$. Согласно определению модуля: $|a|=-a$, $|b|=-b$ и $|ab|=ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$.
Левая часть равенства: $|ab| = ab$.
Получаем тождество $ab = ab$, что является верным.

Случай 3: $a \ge 0$ и $b < 0$.
В этом случае их произведение $ab \le 0$. Согласно определению модуля: $|a|=a$, $|b|=-b$ и $|ab|=-(ab)=-ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$.
Левая часть равенства: $|ab| = -ab$.
Получаем тождество $-ab = -ab$, что является верным.

Случай 4: $a < 0$ и $b \ge 0$.
Этот случай аналогичен предыдущему. Произведение $ab \le 0$. Согласно определению модуля: $|a|=-a$, $|b|=b$ и $|ab|=-(ab)=-ab$.
Правая часть равенства: $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot b = -ab$.
Левая часть равенства: $|ab| = -ab$.
Получаем тождество $-ab = -ab$, что является верным.

Так как равенство выполняется во всех четырех возможных случаях, которые охватывают все действительные числа $a$ и $b$, тождество $|ab| = |a| \cdot |b|$ доказано.

Ответ: равенство доказано.