Номер 6.110, страница 116, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

6.110. На координатной плоскости постройте прямоугольник, у которого абсциссы и ординаты точек удовлетворяют условиям:
а) –4 ≤ х ≤ 4, –6 ≤ у ≤ 5;
б) |х| ≤ 3, |у | ≤ 7.

6.110

а) -4 ≤ х ≤ 4, -6 ≤ у ≤ 5

б) |x| ≤ 3, т.е. -3 ≤ х ≤ 3
|y| ≤ 7, т.е. -7 ≤ y ≤ 7

а)

Условия, которым должны удовлетворять абсциссы $x$ и ординаты $y$ точек прямоугольника, заданы в виде системы неравенств:
$ -4 \le x \le 4 $
$ -6 \le y \le 5 $

Первое неравенство $ -4 \le x \le 4 $ означает, что все точки искомого прямоугольника лежат в вертикальной полосе, ограниченной прямыми $x = -4$ (слева) и $x = 4$ (справа).

Второе неравенство $ -6 \le y \le 5 $ означает, что все точки искомого прямоугольника лежат в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми $y = -6$ (снизу) и $y = 5$ (сверху).

Множество точек, удовлетворяющих обоим условиям одновременно, представляет собой пересечение этих двух полос. Это и есть прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат.

Вершины этого прямоугольника находятся в точках пересечения граничных прямых. Найдем координаты этих вершин:
- Пересечение прямых $x = -4$ и $y = -6$ дает вершину с координатами $(-4, -6)$.
- Пересечение прямых $x = 4$ и $y = -6$ дает вершину с координатами $(4, -6)$.
- Пересечение прямых $x = 4$ и $y = 5$ дает вершину с координатами $(4, 5)$.
- Пересечение прямых $x = -4$ и $y = 5$ дает вершину с координатами $(-4, 5)$.

Ответ: Прямоугольник с вершинами в точках с координатами $(-4, -6)$, $(4, -6)$, $(4, 5)$ и $(-4, 5)$.

б)

В этом случае условия для координат точек заданы неравенствами с модулем:
$ |x| \le 3 $
$ |y| \le 7 $

Для решения раскроем эти неравенства. Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b$ — положительное число) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Применяя это правило к нашим условиям, получаем:
- Для абсциссы $x$: неравенство $ |x| \le 3 $ эквивалентно $ -3 \le x \le 3 $.
- Для ординаты $y$: неравенство $ |y| \le 7 $ эквивалентно $ -7 \le y \le 7 $.

Как и в предыдущем пункте, эти неравенства определяют прямоугольник на координатной плоскости.
Неравенство $ -3 \le x \le 3 $ задает вертикальную полосу между прямыми $x = -3$ и $x = 3$.
Неравенство $ -7 \le y \le 7 $ задает горизонтальную полосу между прямыми $y = -7$ и $y = 7$.

Прямоугольник является пересечением этих двух полос. Найдем координаты его вершин:
- Пересечение прямых $x = -3$ и $y = -7$ дает вершину с координатами $(-3, -7)$.
- Пересечение прямых $x = 3$ и $y = -7$ дает вершину с координатами $(3, -7)$.
- Пересечение прямых $x = 3$ и $y = 7$ дает вершину с координатами $(3, 7)$.
- Пересечение прямых $x = -3$ и $y = 7$ дает вершину с координатами $(-3, 7)$.

Ответ: Прямоугольник с вершинами в точках с координатами $(-3, -7)$, $(3, -7)$, $(3, 7)$ и $(-3, 7)$.