Номер 29, страница 125, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

В.29. Какое число называют кратным данного числа? Как найти наименьшее общее кратное?

В.29

Кратным данного числа n называют такое число m, на которое число n делится без остатка.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить числа на простые множители
2) подчеркнуть общие множители в каждом разложении
3) найти произведение общих множителей одного из чисел и добавить произведение всех остальных множителей от каждого числа

Какое число называют кратным данного числа?

Кратным для данного натурального числа a называют натуральное число b, которое делится на a без остатка. Иными словами, число b является кратным числа a, если существует такое натуральное число k, что выполняется равенство $b = a \cdot k$. Каждое число имеет бесконечно много кратных. Наименьшим кратным для любого натурального числа является само это число.

Например, для числа 6 кратными будут числа 6, 12, 18, 24 и так далее, так как $6 = 6 \cdot 1$, $12 = 6 \cdot 2$, $18 = 6 \cdot 3$ и т.д.

Ответ: Кратным данного числа называют число, которое делится на данное число без остатка.

Как найти наименьшее общее кратное?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое является кратным для каждого из этих чисел (т.е. делится на каждое из них без остатка).

Существует несколько способов нахождения НОК. Рассмотрим два основных метода.

Способ 1: Через разложение на простые множители

Этот метод является универсальным и особенно удобен для больших чисел. Алгоритм нахождения НОК следующий:

1. Разложить каждое из данных чисел на простые множители.
2. Выписать простые множители, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел.
3. Каждый из выписанных множителей взять с наибольшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях.
4. Перемножить полученные степени.

Пример: Найдем НОК для чисел 12 и 18.

• 1. Разложение на простые множители:
  $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$
  $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^2$
• 2. Простые множители, встречающиеся в разложениях: 2 и 3.
• 3. Наибольшая степень для множителя 2 – это $2^2$. Наибольшая степень для множителя 3 – это $3^2$.
• 4. Перемножим их: $НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Способ 2: Через наибольший общий делитель (НОД)

Этот способ удобен для двух чисел и основан на формуле, связывающей НОК и НОД:

$НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$

Алгоритм:

1. Найти наибольший общий делитель (НОД) данных чисел.
2. Вычислить произведение этих чисел.
3. Разделить произведение чисел на их НОД.

Пример: Найдем НОК для тех же чисел 12 и 18.

• 1. Найдем НОД(12, 18). Делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Делители числа 18: {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Наибольший общий делитель – это 6. Итак, $НОД(12, 18) = 6$.
• 2. Вычислим НОК по формуле: $НОК(12, 18) = \frac{12 \cdot 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$.

Для нахождения НОК трех и более чисел можно применять эти методы последовательно. Например, $НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)$.

Ответ: Чтобы найти наименьшее общее кратное, можно разложить числа на простые множители, затем для каждого простого множителя взять наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях, и перемножить полученные результаты. Другой способ (для двух чисел) — найти их произведение и разделить на их наибольший общий делитель.