Номер 37.35, страница 189 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.35*. Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + \frac{1}{y} = \frac{1}{y^2} + x, \\ x + \frac{1}{y^2} = 6. \end{cases}$

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + \frac{1}{y} = \frac{1}{y^2} + x \\x + \frac{1}{y^2} = 6\end{cases}$$

Область допустимых значений для переменных: $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение системы. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - \frac{1}{y^2} + \frac{1}{y} = 0$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^2 - \frac{1}{y^2}) - (x - \frac{1}{y}) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к выражению в первых скобках:

$(x - \frac{1}{y})(x + \frac{1}{y}) - (x - \frac{1}{y}) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - \frac{1}{y})$ за скобки:

$(x - \frac{1}{y})(x + \frac{1}{y} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым случаям:

1) $x - \frac{1}{y} = 0 \implies x = \frac{1}{y}$

2) $x + \frac{1}{y} - 1 = 0 \implies x + \frac{1}{y} = 1$

Рассмотрим каждый случай по отдельности, подставляя полученные соотношения во второе уравнение исходной системы $x + \frac{1}{y^2} = 6$.

Случай 1: $x = \frac{1}{y}$

Из этого соотношения следует, что $\frac{1}{y^2} = (\frac{1}{y})^2 = x^2$. Подставим это во второе уравнение системы:

$x + x^2 = 6$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -6, а сумма равна -1. Корни легко подбираются: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Либо через разложение на множители:

$(x+3)(x-2) = 0$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя $y = \frac{1}{x}$:

При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{1}{2}$.

При $x_2 = -3$, $y_2 = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, в первом случае мы получили две пары решений: $(2, \frac{1}{2})$ и $(-3, -\frac{1}{3})$.

Случай 2: $x + \frac{1}{y} = 1$

Из этого соотношения выразим $\frac{1}{y}$: $\frac{1}{y} = 1 - x$.

Тогда $\frac{1}{y^2} = (\frac{1}{y})^2 = (1-x)^2$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x + (1-x)^2 = 6$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x + 1 - 2x + x^2 = 6$

$x^2 - x + 1 = 6$

$x^2 - x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Мы получили еще два значения для $x$:

$x_3 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя $y = \frac{1}{1-x}$:

При $x_3 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$:

$y_3 = \frac{1}{1 - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}} = \frac{1}{\frac{2 - (1 + \sqrt{21})}{2}} = \frac{1}{\frac{1 - \sqrt{21}}{2}} = \frac{2}{1 - \sqrt{21}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 + \sqrt{21})$:

$y_3 = \frac{2(1 + \sqrt{21})}{(1 - \sqrt{21})(1 + \sqrt{21})} = \frac{2(1 + \sqrt{21})}{1 - 21} = \frac{2(1 + \sqrt{21})}{-20} = -\frac{1 + \sqrt{21}}{10}$

При $x_4 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$:

$y_4 = \frac{1}{1 - \frac{1 - \sqrt{21}}{2}} = \frac{1}{\frac{2 - (1 - \sqrt{21})}{2}} = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{21}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{21}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 - \sqrt{21})$:

$y_4 = \frac{2(1 - \sqrt{21})}{(1 + \sqrt{21})(1 - \sqrt{21})} = \frac{2(1 - \sqrt{21})}{1 - 21} = \frac{2(1 - \sqrt{21})}{-20} = -\frac{1 - \sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21} - 1}{10}$

Таким образом, во втором случае мы получили еще две пары решений: $(\frac{1 + \sqrt{21}}{2}, -\frac{1 + \sqrt{21}}{10})$ и $(\frac{1 - \sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21} - 1}{10})$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем четыре решения системы.

Ответ: $(2; \frac{1}{2})$, $(-3; -\frac{1}{3})$, $(\frac{1 + \sqrt{21}}{2}; -\frac{1 + \sqrt{21}}{10})$, $(\frac{1 - \sqrt{21}}{2}; \frac{\sqrt{21} - 1}{10})$.