Номер 9.9, страница 23 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

9.9. Треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$. Докажите, что соответствующие высоты $AH$ и $A_1H_1$ равны.

Дано:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

$AH$ — высота $\triangle ABC$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$.

$A_1H_1$ — высота $\triangle A_1B_1C_1$, проведенная из вершины $A_1$ к стороне $B_1C_1$.

Доказать:

$AH = A_1H_1$.

Доказательство:

1. Поскольку по условию $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то их соответствующие элементы равны. Это означает, что равны их соответствующие стороны и углы:

• $AB = A_1B_1$
• $\angle B = \angle B_1$

2. Так как $AH$ является высотой $\triangle ABC$, то $AH \perp BC$. Следовательно, $\triangle ABH$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AHB = 90^\circ$.

3. Аналогично, так как $A_1H_1$ является высотой $\triangle A_1B_1C_1$, то $A_1H_1 \perp B_1C_1$. Следовательно, $\triangle A_1B_1H_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle A_1H_1B_1 = 90^\circ$.

4. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. В них:

• Гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $A_1B_1$ (из пункта 1).
• Острый угол $\angle B$ равен острому углу $\angle B_1$ (из пункта 1).

5. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу).

6. Из равенства треугольников $\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1$ следует равенство их соответствующих катетов, то есть $AH = A_1H_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство соответствующих высот $AH$ и $A_1H_1$ доказано на основе равенства прямоугольных треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ по гипотенузе и острому углу.