Номер 18.1, страница 96 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

18.1. По данным рисунков 151, 1)—6) найдите фигуру, площадь которой:

а) наибольшая;

б) наименьшая,

и укажите значение этой площади. Размер одной клетки $1 \times 1$ см.

Рис. 151

Для решения задачи найдем площадь каждой из шести фигур. Площадь одной клетки равна $1 \times 1 = 1$ см². Для нахождения площадей сложных фигур будем использовать метод разбиения их на более простые фигуры: прямоугольники, треугольники и трапеции, для которых легко вычислить площадь.

1) Фигура 1 представляет собой четырехугольник. Для нахождения его площади удобно использовать метод дополнения до прямоугольника. Опишем вокруг фигуры прямоугольник с вершинами в узлах сетки, который полностью ее содержит. Минимальный такой прямоугольник имеет размеры 6 на 3 клетки, его вершины (если принять левый нижний угол сетки фигуры за (0,0)) будут в точках (1,1), (7,1), (7,4), (1,4). Площадь этого прямоугольника равна $6 \times 3 = 18$ см².
Теперь из площади этого прямоугольника вычтем площади фигур, которые находятся вне исходного четырехугольника:

• Треугольник в левом нижнем углу с катетами 1 и 2. Его площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$ см². (Вершины (1,1), (2,1), (1,3) - это неверно, этот треугольник не вычитается).

Давайте воспользуемся методом разложения. Или формулой площади Гаусса (shoelace formula) для вершин (1,1), (5,1), (7,4), (2,3).$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + (x_3y_4 - y_3x_4) + (x_4y_1 - y_4x_1)|$
$S = \frac{1}{2} |(1 \cdot 1 - 1 \cdot 5) + (5 \cdot 4 - 1 \cdot 7) + (7 \cdot 3 - 4 \cdot 2) + (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1)|$
$S = \frac{1}{2} |(1 - 5) + (20 - 7) + (21 - 8) + (2 - 3)| = \frac{1}{2} |-4 + 13 + 13 - 1| = \frac{1}{2} |21| = 10,5$ см².
Площадь фигуры 1 равна 10,5 см².

2) Фигура 2 — это треугольник. Его основание равно 8 клеткам, а высота — 3 клеткам.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ см².
Площадь фигуры 2 равна 12 см².

3) Фигура 3 — это многоугольник, составленный из прямоугольников. Его площадь можно найти, посчитав количество клеток.

• Нижний ряд: 7 клеток.
• Средний ряд: 5 клеток.
• Верхний ряд: 2 клетки.

Общая площадь: $S = 7 + 5 + 2 = 14$ см².
Площадь фигуры 3 равна 14 см².

4) Фигура 4 — сложный многоугольник. Разобьем его на три части вертикальными линиями в узлах сетки.

• Левая часть — прямоугольник размером 2 на 3 клетки. Его площадь $S_1 = 2 \times 3 = 6$ см².
• Средняя часть — трапеция с основаниями 3 и 2 клетки и высотой 2 клетки. Ее площадь $S_2 = \frac{3+2}{2} \cdot 2 = 5$ см².
• Правая часть — четырехугольник, который можно разбить на прямоугольник 2x2 и треугольник с катетами 1 и 2. Его площадь $S_3 = (2 \times 2) + (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2) = 4 + 1 = 5$ см².

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 + S_3 = 6 + 5 + 5 = 16$ см².
Площадь фигуры 4 равна 16 см².

5) Фигура 5 — сложный многоугольник. Разобьем его на две трапеции горизонтальной линией.

• Нижняя трапеция имеет основания 5 и 3 клетки и высоту 1 клетку. Ее площадь $S_1 = \frac{5+3}{2} \cdot 1 = 4$ см².
• Верхняя трапеция имеет основания 3 и 1 клетку и высоту 2 клетки. Ее площадь $S_2 = \frac{3+1}{2} \cdot 2 = 4$ см².

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 4 + 4 = 8$ см².
Площадь фигуры 5 равна 8 см².

6) Фигура 6 — сложный многоугольник. Разобьем его на две трапеции горизонтальной линией.

• Нижняя трапеция имеет основания 8 и 4 клетки и высоту 1 клетку. Ее площадь $S_1 = \frac{8+4}{2} \cdot 1 = 6$ см².
• Верхняя трапеция имеет основания 4 и 2 клетки и высоту 2 клетки. Ее площадь $S_2 = \frac{4+2}{2} \cdot 2 = 6$ см².

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 6 + 6 = 12$ см².
Площадь фигуры 6 равна 12 см².

Теперь, зная площади всех фигур, ответим на вопросы.

а) наибольшая
Сравним полученные площади: 10,5 см², 12 см², 14 см², 16 см², 8 см², 12 см².
Наибольшее значение площади равно 16 см², что соответствует фигуре 4.
Ответ: Фигура 4, площадь которой равна 16 см².

б) наименьшая
Сравним полученные площади: 10,5 см², 12 см², 14 см², 16 см², 8 см², 12 см².
Наименьшее значение площади равно 8 см², что соответствует фигуре 5.
Ответ: Фигура 5, площадь которой равна 8 см².