Номер 19.4, страница 100 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

19.4. По данным рисунков 158, а), б) найдите градусную меру угла $\alpha$.

а) $\alpha$, $44^\circ$

б) $\alpha$, $112^\circ$

Рис. 158

a)

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle ABE$. У них общий угол $\angle A$.

Найдем длины сторон $AB$ и $AE$:

$AB = AC + CB = 2 + 6 = 8$

$AE = AD + DE = 5 + 15 = 20$

Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к общему углу $\angle A$:

Отношение сторон $AC$ и $AB$: $\frac{AC}{AB} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Отношение сторон $AD$ и $AE$: $\frac{AD}{AE} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

Так как $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AE}$ и угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников, то треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle ABE$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов:

$\angle ADC = \angle AEB$

По условию, $\angle AEB = 44^\circ$. Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \angle ADC = \angle AEB = 44^\circ$

Ответ: $44^\circ$.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle ABE$. У них общий угол $\angle A$.

Найдем длины сторон $AB$ и $AE$:

$AB = AC + BC = 4 + 12 = 16$

$AE = AD + DE = 7 + 21 = 28$

Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к общему углу $\angle A$:

Отношение сторон $AC$ и $AB$: $\frac{AC}{AB} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

Отношение сторон $AD$ и $AE$: $\frac{AD}{AE} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

Так как $\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AE}$, то треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle ABE$ подобны по второму признаку подобия.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов:

1) $\angle ABE = \angle ACD$. Искомый угол $\alpha = \angle ABE$, значит $\alpha = \angle ACD$.

2) $\angle AEB = \angle ADC$.

По условию, нам дан угол $\angle CDE = 112^\circ$. Точки $A$, $D$, $E$ лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle ADC$ и $\angle CDE$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.

$\angle ADC + \angle CDE = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$

Из равенства $\angle AEB = \angle ADC$ следует, что $\angle AEB = 68^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CDE$. Мы знаем два его угла:

1) $\angle CDE = 112^\circ$ (по условию).

2) $\angle CED$, который является тем же углом, что и $\angle AEB$, то есть $\angle CED = 68^\circ$.

Сумма этих двух углов в треугольнике $\triangle CDE$ равна:

$\angle CDE + \angle CED = 112^\circ + 68^\circ = 180^\circ$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Так как сумма двух углов $\triangle CDE$ уже равна $180^\circ$, то третий угол $\angle DCE$ должен быть равен $0^\circ$.

Угол в треугольнике, равный $0^\circ$, означает, что все три его вершины ($C$, $D$, $E$) лежат на одной прямой. Однако из условия задачи точка $C$ лежит на отрезке $AB$, а точки $D$ и $E$ на прямой, проходящей через $A$. Это возможно только если точка $C$ совпадает с точкой $A$, что противоречит условию $AC=4$.

Таким образом, данные в условии задачи противоречивы. Треугольник с указанными размерами и углами существовать не может.

Ответ: Задача не имеет решения из-за противоречивых исходных данных.