Номер 2.1, страница 58 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.1. ABCD — параллелограмм. Пользуясь данными рисунков 109, а)—г), найдите величину угла $\alpha$.

а) б) в) $DK = KC$

г) $AM = MB$

Рис. 109

а) Внешний угол при вершине C параллелограмма и внутренний угол $\angle BCD$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180°$.
$\angle BCD = 180° - 134° = 46°$.
В параллелограмме противолежащие углы равны, следовательно, $\angle DAB = \angle BCD$.
Таким образом, $\alpha = \angle DAB = 46°$.
Ответ: 46°

б) Углы $\angle DAB$ (обозначенный как $\alpha$) и $\angle CDA$ (равный $52°$) являются углами, прилежащими к одной стороне параллелограмма ($AD$). Сумма таких углов в параллелограмме равна $180°$.
$\angle DAB + \angle CDA = 180°$
$\alpha + 52° = 180°$
$\alpha = 180° - 52° = 128°$.
Ответ: 128°

в) В параллелограмме ABCD углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$.
$\angle BCD = 180° - \angle ABC = 180° - 122° = 58°$.
Поскольку точка K лежит на стороне BC, то $\angle KCD = \angle BCD = 58°$.
Рассмотрим треугольник $\triangle DKC$. По условию $DK = KC$, следовательно, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы, противолежащие равным сторонам $DK$ и $KC$, это $\angle KCD$ и $\angle KDC$ соответственно. Значит, $\angle KDC = \angle KCD = 58°$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем угол $\angle DKC$:
$\angle DKC = 180° - (\angle KCD + \angle KDC) = 180° - (58° + 58°) = 180° - 116° = 64°$.
Точки B, K, C лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle BKD$ (обозначенный как $\alpha$) и $\angle DKC$ являются смежными, и их сумма равна $180°$.
$\alpha + \angle DKC = 180°$
$\alpha + 64° = 180°$
$\alpha = 180° - 64° = 116°$.
Ответ: 116°

г) В параллелограмме ABCD сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$.
$\angle ABC = 180° - \angle BCD = 180° - 118° = 62°$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. По условию (судя по отметкам на рисунке) $AB = AM$. Следовательно, $\triangle ABM$ — равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Углы, противолежащие сторонам $AB$ и $AM$, — это $\angle AMB$ и $\angle ABM$ ($\angle ABC$) соответственно.
Значит, $\angle AMB = \angle ABM = 62°$.
Точки B, M, C лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ (обозначенный как $\alpha$) являются смежными, и их сумма равна $180°$.
$\angle AMB + \alpha = 180°$
$62° + \alpha = 180°$
$\alpha = 180° - 62° = 118°$.
Ответ: 118°