Номер 23.2, страница 110 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

23.2. В треугольнике $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Она разделяет этот треугольник на два многоугольника с равными площадями. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри треугольника, если длина стороны $BC$ равна 12 см.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, — это отрезок $MN$.

Прямая $MN$ разделяет исходный треугольник $ABC$ на две фигуры: малый треугольник $AMN$ и трапецию $MNCB$. По условию задачи, их площади равны. Обозначим площадь каждой из этих фигур как $S_1$.

$S_{AMN} = S_{MNCB} = S_1$

Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей треугольника $AMN$ и трапеции $MNCB$:

$S_{ABC} = S_{AMN} + S_{MNCB} = S_1 + S_1 = 2S_1$

Отсюда следует, что площадь малого треугольника $AMN$ в два раза меньше площади большого треугольника $ABC$:

$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{S_1}{2S_1} = \frac{1}{2}$

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $BC$, то треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$. Это следует из равенства углов: $\angle MAN$ — общий для обоих треугольников, а $\angle AMN = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $AB$.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон:

$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{MN}{BC}\right)^2$

Подставим известное нам отношение площадей в эту формулу:

$\left(\frac{MN}{BC}\right)^2 = \frac{1}{2}$

Чтобы найти отношение сторон, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{MN}{BC} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

По условию, длина стороны $BC$ равна 12 см. Выразим длину отрезка $MN$:

$MN = BC \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$MN = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.