Номер 3.4, страница 63 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3.4. В параллелограмме $ABCD$ на диагонали $BD$ отложены равные отрезки $BF$ и $DE$, а на диагонали $AC$ отложены равные отрезки $AK$ и $CP$. Докажите, что $KFPE$ — параллелограмм.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. По свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам, следовательно: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим четырехугольник $KFPE$. Чтобы доказать, что он является параллелограммом, воспользуемся признаком: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Диагоналями четырехугольника $KFPE$ являются отрезки $FE$ и $KP$.

Точки $K$ и $P$ лежат на диагонали $AC$. По условию задачи $AK = CP$. Точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Рассмотрим длины отрезков $OK$ и $OP$. Так как отрезки откладываются от вершин $A$ и $C$, можно считать, что точка $K$ лежит на отрезке $AO$, а точка $P$ — на отрезке $CO$. Длина отрезка $OK$ вычисляется как разность $OK = AO - AK$. Длина отрезка $OP$ вычисляется как разность $OP = OC - CP$. Поскольку $AO = OC$ и, по условию, $AK = CP$, то мы можем заключить, что $OK = OP$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $KP$.

Аналогично рассмотрим диагональ $BD$, на которой лежат точки $F$ и $E$. По условию задачи $BF = DE$. Точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Рассмотрим длины отрезков $OF$ и $OE$. Точка $F$ лежит на отрезке $BO$, а точка $E$ — на отрезке $DO$. Длина отрезка $OF$ вычисляется как разность $OF = BO - BF$. Длина отрезка $OE$ вычисляется как разность $OE = DO - DE$. Поскольку $BO = OD$ и, по условию, $BF = DE$, то мы можем заключить, что $OF = OE$. Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $FE$.

Таким образом, мы доказали, что диагонали четырехугольника $KFPE$ (отрезки $KP$ и $FE$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник $KFPE$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник $KFPE$ является параллелограммом.