Номер 2.11, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.11. a) Основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$ $(b > a)$. Докажите, что площадь трапеции равна $\frac{b^2 - a^2}{4}\text{tg}\beta$, где $\beta$ — угол при большем основании трапеции.

б) Меньшее основание равнобедренной трапеции равно $a$, а боковая сторона — $c$. Докажите, что площадь трапеции равна $(ac + c^2 \cdot \cos\gamma)\sin\gamma$, где $\gamma$ — острый угол трапеции.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причем $AD = b$, $BC = a$ (при $b > a$). Угол при большем основании равен $\beta$, то есть $\angle{DAB} = \angle{CDA} = \beta$. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции ($h = BH = CK$).

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Отрезок AH можно найти как: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{b-a}{2}$.

В этом же треугольнике тангенс угла $\beta$ определяется как отношение противолежащего катета (высоты $h$) к прилежащему ($AH$): $\text{tg}\beta = \frac{BH}{AH} = \frac{h}{AH}$.

Отсюда выразим высоту $h$: $h = AH \cdot \text{tg}\beta = \frac{b-a}{2} \cdot \text{tg}\beta$.

Теперь подставим полученное выражение для высоты $h$ в формулу площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot \left(\frac{b-a}{2} \cdot \text{tg}\beta\right) = \frac{(a+b)(b-a)}{4} \cdot \text{tg}\beta$.

Используя формулу разности квадратов $(b-a)(b+a) = b^2 - a^2$, получаем: $S = \frac{b^2 - a^2}{4} \text{tg}\beta$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь трапеции равна $\frac{b^2-a^2}{4}\text{tg}\beta$.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция, у которой меньшее основание равно $a$, боковая сторона — $c$, а острый угол при основании — $\gamma$. Обозначим трапецию ABCD, где $BC = a$ — меньшее основание, $AD = b$ — большее основание, $AB = CD = c$ — боковые стороны, и $\angle{DAB} = \angle{CDA} = \gamma$.

Формула площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Нам нужно выразить большее основание $b$ и высоту $h$ через заданные величины $a$, $c$ и $\gamma$.

Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. Образуется прямоугольный треугольник ABH с гипотенузой $AB = c$ и острым углом $\angle{BAH} = \gamma$.

Из этого треугольника найдем высоту $h$ (катет BH) и отрезок AH: $h = BH = AB \cdot \sin\gamma = c\sin\gamma$. $AH = AB \cdot \cos\gamma = c\cos\gamma$.

Большее основание $b$ (AD) состоит из отрезка, равного меньшему основанию ($HK=BC=a$), и двух равных отрезков AH и KD, отсекаемых высотами. $b = AD = AH + HK + KD = c\cos\gamma + a + c\cos\gamma = a + 2c\cos\gamma$.

Теперь подставим найденные выражения для $b$ и $h$ в формулу площади: $S = \frac{a + (a + 2c\cos\gamma)}{2} \cdot (c\sin\gamma)$.

Упростим выражение в числителе дроби: $S = \frac{2a + 2c\cos\gamma}{2} \cdot c\sin\gamma = (a + c\cos\gamma) \cdot c\sin\gamma$.

Раскроем скобки и преобразуем выражение: $S = a \cdot c\sin\gamma + c\cos\gamma \cdot c\sin\gamma = ac\sin\gamma + c^2\cos\gamma\sin\gamma$.

Вынесем общий множитель $\sin\gamma$ за скобки: $S = (ac + c^2\cos\gamma)\sin\gamma$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь трапеции равна $(ac + c^2\cos\gamma)\sin\gamma$.