Номер 2.2, страница 126 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

2.2. Используя данные рисунков 207, а)—в), найдите длины отрезков $a$ и $b$.

а) $60^\circ$, $12$, $a$, $b$

б) $45^\circ$, $18\sqrt{2}$, $a$, $b$

в) $60^\circ$, $2$, $a$, $b$

Рис. 207

а)

В данном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12, а один из острых углов — 60°. Требуется найти катеты a и b.

Катет a прилежит к углу 60°. Для его нахождения воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе):
$\cos(60°) = \frac{a}{12}$

Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} = \frac{a}{12}$
Отсюда находим a:
$a = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

Катет b противолежит углу 60°. Для его нахождения воспользуемся определением синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе):
$\sin(60°) = \frac{b}{12}$

Зная, что $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{12}$
Отсюда находим b:
$b = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

Ответ: $a = 6$, $b = 6\sqrt{3}$.

б)

Дан прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна $18\sqrt{2}$, а один из острых углов — 45°. Требуется найти катеты a и b.

Сумма углов в любом треугольнике составляет 180°. Так как один угол прямой (90°), а другой равен 45°, то третий угол будет равен $180° - 90° - 45° = 45°$.

Поскольку в треугольнике два угла равны (оба по 45°), он является равнобедренным. Это означает, что катеты, лежащие напротив равных углов, равны между собой, то есть $a = b$.

Для нахождения длин катетов можно использовать тригонометрические функции. Например, найдем катет b, который противолежит углу 45°:
$\sin(45°) = \frac{b}{18\sqrt{2}}$

Зная, что $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{18\sqrt{2}}$
Выражаем b:
$b = 18\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{18 \cdot 2}{2} = 18$

Так как $a = b$, то и $a = 18$.

Ответ: $a = 18$, $b = 18$.

в)

На рисунке изображен треугольник с высотой, равной 2. Один из углов при основании равен 60°. Одинаковые штрихи на боковых сторонах указывают, что они равны, следовательно, треугольник — равнобедренный. Боковая сторона обозначена как a, а основание — как b.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как один из них равен 60°, то и второй угол при основании равен 60°. Третий угол (при вершине) равен $180° - 60° - 60° = 60°$.

Поскольку все три угла треугольника равны 60°, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому $a = b$.

Высота h в равностороннем треугольнике связана с его стороной s формулой $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $h = 2$ и $s = a$. Подставляем эти значения в формулу:
$2 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Решаем уравнение относительно a:
$4 = a\sqrt{3}$
$a = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Поскольку $a=b$, то $b$ имеет такую же длину.

Ответ: $a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$, $b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.