Номер 6.4, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6.4. a) Один катет прямоугольного треугольника равен $2\sqrt{5}$, а проекция другого катета на гипотенузу — $2\frac{2}{3}$. Найдите второй катет треугольника.

б) Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника относятся как $2:3$, меньший катет равен $2\sqrt{10}$. Найдите больший катет треугольника.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пусть $a_c$ и $b_c$ — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

По условию задачи, один катет равен $2\sqrt{5}$, а проекция другого катета на гипотенузу равна $2\frac{2}{3}$. Пусть катет $a = 2\sqrt{5}$, а проекция катета $b$ на гипотенузу $b_c = 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$. Требуется найти длину второго катета $b$.

Для решения задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике:
1. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.
2. Длина гипотенузы равна сумме длин проекций катетов: $c = a_c + b_c$.

Подставим выражение для гипотенузы $c$ из второго соотношения в формулу для катета $a$:
$a^2 = (a_c + b_c) \cdot a_c$

Теперь подставим известные значения $a = 2\sqrt{5}$ и $b_c = \frac{8}{3}$:
$(2\sqrt{5})^2 = (a_c + \frac{8}{3}) \cdot a_c$
$20 = a_c^2 + \frac{8}{3}a_c$

Получили квадратное уравнение относительно $a_c$. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя, и перенесем все члены в левую часть:
$3a_c^2 + 8a_c - 60 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-60) = 64 + 720 = 784$
$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни уравнения:
$a_c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-8 \pm 28}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 28}{6}$
Поскольку $a_c$ представляет собой длину, она должна быть положительной. Поэтому выбираем корень со знаком «плюс»:
$a_c = \frac{-8 + 28}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Теперь, зная обе проекции, мы можем найти длину гипотенузы $c$:
$c = a_c + b_c = \frac{10}{3} + \frac{8}{3} = \frac{18}{3} = 6$

Наконец, найдем искомый катет $b$, используя соотношение $b^2 = c \cdot b_c$:
$b^2 = 6 \cdot \frac{8}{3} = \frac{48}{3} = 16$
$b = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4.

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а их проекции на гипотенузу — $a_c$ и $b_c$ соответственно.

Из условия известно, что проекции катетов на гипотенузу относятся как 2 : 3. Запишем это в виде $a_c : b_c = 2 : 3$. Мы можем выразить длины проекций через коэффициент пропорциональности $k > 0$:
$a_c = 2k$
$b_c = 3k$

Длина гипотенузы $c$ равна сумме проекций:
$c = a_c + b_c = 2k + 3k = 5k$

Используем метрическое соотношение для катетов: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$. Выразим катеты через $k$:
$a^2 = (5k) \cdot (2k) = 10k^2 \implies a = \sqrt{10k^2} = k\sqrt{10}$
$b^2 = (5k) \cdot (3k) = 15k^2 \implies b = \sqrt{15k^2} = k\sqrt{15}$

Чтобы определить, какой из катетов меньший, сравним их выражения. Так как $\sqrt{10} < \sqrt{15}$, то катет $a = k\sqrt{10}$ является меньшим.

По условию, длина меньшего катета равна $2\sqrt{10}$. Приравняем это значение к полученному выражению для катета $a$:
$k\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Отсюда находим значение коэффициента $k$:
$k = 2$

Теперь можем найти длину большего катета $b$, подставив найденное значение $k=2$ в его выражение:
$b = k\sqrt{15} = 2\sqrt{15}$

Ответ: $2\sqrt{15}$.