Номер 7.10, страница 139 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

7.10. а) Периметр треугольника равен 18 см, а его площадь — $3\sqrt{15}$ см$^2$. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

б) Площадь треугольника равна $24\sqrt{6}$ см$^2$, а радиус вписанной в него окружности — $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ см. Найдите периметр треугольника.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, связывающей площадь треугольника, его полупериметр и радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$, где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Сначала найдем полупериметр треугольника. Периметр $P$ равен 18 см, следовательно, полупериметр $p$ равен:
$p = \frac{P}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь, зная площадь $S = 3\sqrt{15}$ см² и полупериметр $p = 9$ см, мы можем выразить и найти радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{3\sqrt{15}}{9} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{3}$ см.

б)

В этой задаче мы также используем формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности: $S = p \cdot r$. Нам нужно найти периметр $P$, который равен удвоенному полупериметру: $P = 2p$.

Сначала выразим и найдем полупериметр $p$ из формулы площади. Нам известны площадь $S = 24\sqrt{6}$ см² и радиус вписанной окружности $r = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.
$p = \frac{S}{r} = \frac{24\sqrt{6}}{\frac{4\sqrt{6}}{3}}$.

Для вычисления выполним деление:
$p = 24\sqrt{6} \cdot \frac{3}{4\sqrt{6}} = \frac{24 \cdot 3}{4} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Теперь, зная полупериметр $p = 18$ см, найдем периметр $P$:
$P = 2p = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.