Номер 1.379, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.379. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} (x + 3)^2 - 7 > x^2 + 3x, \\ 7(x - 1) \le 8x - 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 5)(x - 5) \le x(x + 5), \\ \frac{x + 3}{4} - \frac{x - 2}{3} > 0. \end{cases}$

a) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство: $(x+3)^2 - 7 > x^2 + 3x$.

Раскроем квадрат суммы в левой части:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 7 > x^2 + 3x$

$x^2 + 6x + 9 - 7 > x^2 + 3x$

$x^2 + 6x + 2 > x^2 + 3x$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числовые члены - в правую:

$x^2 - x^2 + 6x - 3x > -2$

$3x > -2$

Разделим обе части на 3:

$x > -\frac{2}{3}$

2. Решим второе неравенство: $7(x-1) \le 8x - 2$.

Раскроем скобки в левой части:

$7x - 7 \le 8x - 2$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а числовые члены - в левую:

$-7 + 2 \le 8x - 7x$

$-5 \le x$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x > -\frac{2}{3}$ и $x \ge -5$.

Так как $-\frac{2}{3}$ больше, чем $-5$, общим решением системы будет интервал, удовлетворяющий более сильному неравенству $x > -\frac{2}{3}$.

Ответ: $(-\frac{2}{3}; +\infty)$.

б) Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство: $(x+5)(x-5) \le x(x+5)$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. Слева используем формулу разности квадратов:

$x^2 - 25 \le x^2 + 5x$

Упростим, вычитая $x^2$ из обеих частей:

$-25 \le 5x$

Разделим обе части на 5:

$-5 \le x$

2. Решим второе неравенство: $\frac{x+3}{4} - \frac{x-2}{3} > 0$.

Умножим обе части неравенства на общий знаменатель дробей, то есть на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$12 \cdot \frac{x+3}{4} - 12 \cdot \frac{x-2}{3} > 12 \cdot 0$

$3(x+3) - 4(x-2) > 0$

Раскроем скобки:

$3x + 9 - 4x + 8 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 17 > 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$17 > x$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x \ge -5$ и $x < 17$.

Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство: $-5 \le x < 17$.

Ответ: $[-5; 17)$.