Номер 3.230, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.230. Решите совокупность квадратных неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 + 5x + 6 > 0, \\ x^2 - x + 3 \leq 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x^2 - 5x + 2 \leq 0, \\ x^2 + 3x + 7 > 0. \end{cases}$

а) Решим совокупность неравенств: $$ \left[ \begin{aligned} & x^2 + 5x + 6 > 0, \\ & x^2 - x + 3 \le 0. \end{aligned} \right. $$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 5x + 6 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Квадратный трехчлен можно разложить на множители: $(x + 3)(x + 2) > 0$. Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - x + 3 \le 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x + 3 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 - x + 3$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 - x + 3$ принимает только положительные значения при любом $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - x + 3 \le 0$ не имеет действительных решений.

Решением совокупности является объединение множеств решений обоих неравенств: $(-\infty; -3) \cup (-2; +\infty) \cup \emptyset$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (-2; +\infty)$.

б) Решим совокупность неравенств: $$ \left[ \begin{aligned} & 2x^2 - 5x + 2 \le 0, \\ & x^2 + 3x + 7 > 0. \end{aligned} \right. $$

1. Решим первое неравенство: $2x^2 - 5x + 2 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$. $x_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $x_2 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Графиком функции $y = 2x^2 - 5x + 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [\frac{1}{2}; 2]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 3x + 7 > 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x + 7 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$. Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 + 3x + 7$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $x^2 + 3x + 7$ всегда положительно для любого действительного $x$. Следовательно, решением второго неравенства является вся числовая прямая: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решением совокупности является объединение множеств решений обоих неравенств: $[\frac{1}{2}; 2] \cup (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.