Номер 3.40, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.40. На рисунке 61 изображены графики парабол $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a$, $b$ и $c$, знак дискриминанта соответствующего квадратного трехчлена на $ax^2 + bx + c$ для каждой из парабол.

а) б) в) г) Рис. 61

Для определения знаков коэффициентов $a, b, c$ и дискриминанта $D$ параболы $y = ax^2 + bx + c$ воспользуемся следующими свойствами:

• Знак коэффициента $a$ определяется направлением ветвей параболы: если ветви направлены вверх, то $a > 0$; если вниз, то $a < 0$.
• Знак коэффициента $c$ определяется точкой пересечения параболы с осью $Oy$. Так как при $x=0$, $y=c$, то если точка пересечения лежит выше оси $Ox$, то $c > 0$; если ниже, то $c < 0$.
• Знак коэффициента $b$ зависит от знака $a$ и положения вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Знак $b$ можно определить из этого соотношения.
• Знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ определяется количеством точек пересечения параболы с осью $Ox$. Если точек пересечения две, то $D > 0$; если одна (вершина на оси), то $D = 0$; если точек пересечения нет, то $D < 0$.

а)

• Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.
• Парабола пересекает ось $Oy$ выше начала координат, значит, $c > 0$.
• Вершина параболы находится в первой четверти, ее абсцисса $x_0 > 0$. Из формулы $x_0 = -\frac{b}{2a}$ получаем, что $-\frac{b}{2a} > 0$. Так как $a > 0$, то $-b > 0$, откуда $b < 0$.
• Парабола не пересекает ось $Ox$, следовательно, $D < 0$.

Ответ: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$, $D < 0$.

б)

• Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.
• Парабола пересекает ось $Oy$ выше начала координат, значит, $c > 0$.
• Вершина параболы находится во второй четверти, ее абсцисса $x_0 < 0$. Из формулы $x_0 = -\frac{b}{2a}$ получаем, что $-\frac{b}{2a} < 0$. Так как $a > 0$, то $-b < 0$, откуда $b > 0$.
• Парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках, следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$, $D > 0$.

в)

• Ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.
• Парабола пересекает ось $Oy$ выше начала координат, значит, $c > 0$.
• Вершина параболы находится в первой четверти, ее абсцисса $x_0 > 0$. Из формулы $x_0 = -\frac{b}{2a}$ получаем, что $-\frac{b}{2a} > 0$. Так как $a < 0$, то $-b < 0$, откуда $b > 0$.
• Парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках, следовательно, $D > 0$.

Ответ: $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$, $D > 0$.

г)

• Ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$.
• Парабола пересекает ось $Oy$ ниже начала координат, значит, $c < 0$.
• Вершина параболы находится в четвертой четверти, ее абсцисса $x_0 > 0$. Из формулы $x_0 = -\frac{b}{2a}$ получаем, что $-\frac{b}{2a} > 0$. Так как $a < 0$, то $-b < 0$, откуда $b > 0$.
• Парабола не пересекает ось $Ox$, следовательно, $D < 0$.

Ответ: $a < 0$, $b > 0$, $c < 0$, $D < 0$.