Номер 4.25, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.25. Определите, сколько точек, у которых абсцисса противоположна ординате, принадлежит графику функции:

а) $y = - \frac{25}{x};$

б) $y = - \frac{3}{x}.$

Найдите координаты всех таких точек. Рациональными или иррациональными числами являются координаты этих точек?

По условию задачи, абсцисса (координата $x$) точки должна быть противоположна её ординате (координате $y$). Математически это условие можно записать как $y = -x$.

Чтобы найти точки, принадлежащие графику функции и удовлетворяющие этому условию, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнения функции и уравнения $y = -x$.

а) Для функции $y = -\frac{25}{x}$

Составим и решим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{25}{x} \\ y = -x \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$-x = -\frac{25}{x}$

Умножим обе части на $-1$:

$x = \frac{25}{x}$

Теперь умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из вида функции):

$x^2 = 25$

Из этого уравнения находим два значения для $x$:

$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя условие $y = -x$:

• При $x_1 = 5$, $y_1 = -5$. Координаты первой точки: $(5; -5)$.
• При $x_2 = -5$, $y_2 = -(-5) = 5$. Координаты второй точки: $(-5; 5)$.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие условию. Координаты этих точек являются целыми числами, а значит, и рациональными.

Ответ: 2 точки; $(5; -5)$ и $(-5; 5)$; координаты являются рациональными числами.

б) Для функции $y = -\frac{3}{x}$

Составим и решим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{3}{x} \\ y = -x \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$-x = -\frac{3}{x}$

Умножим обе части на $-x$ (при $x \neq 0$):

$x^2 = 3$

Из этого уравнения находим два значения для $x$:

$x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$, используя условие $y = -x$:

• При $x_1 = \sqrt{3}$, $y_1 = -\sqrt{3}$. Координаты первой точки: $(\sqrt{3}; -\sqrt{3})$.
• При $x_2 = -\sqrt{3}$, $y_2 = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$. Координаты второй точки: $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие условию. Так как число 3 не является полным квадратом, $\sqrt{3}$ — иррациональное число. Следовательно, координаты этих точек являются иррациональными числами.

Ответ: 2 точки; $(\sqrt{3}; -\sqrt{3})$ и $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$; координаты являются иррациональными числами.