Номер 1023, страница 189 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Угольный стержень (индекс 1):
Длина: $l_1$
Температурный коэффициент сопротивления: $\alpha_1 = -8,0 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1}$
Удельное сопротивление: $\rho_1 = 4,0 \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Железный стержень (индекс 2):
Длина: $l_2$
Температурный коэффициент сопротивления: $\alpha_2 = 6,0 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}$
Удельное сопротивление: $\rho_2 = 1,2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Стержни имеют одинаковую площадь поперечного сечения $S_1 = S_2 = S$.
Сопротивление комбинации не зависит от температуры.

Найти:
Соотношение длин стержней $\frac{l_2}{l_1}$.

Решение:
Сопротивление проводника определяется формулой $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $l$ – его длина, а $S$ – площадь поперечного сечения.
Зависимость сопротивления от температуры для не очень больших изменений температуры описывается линейной функцией:
$R(T) = R_0 (1 + \alpha \Delta T)$, где $R_0$ – сопротивление при начальной температуре $T_0$, $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta T$ – изменение температуры.
Стержни соединены последовательно, поэтому их общее сопротивление равно сумме сопротивлений каждого стержня.
Пусть $R_{1,0}$ и $R_{2,0}$ – начальные сопротивления угольного и железного стержней соответственно:
$R_{1,0} = \rho_1 \frac{l_1}{S}$
$R_{2,0} = \rho_2 \frac{l_2}{S}$
Общее сопротивление системы при изменении температуры на $\Delta T$ будет:
$R_{общ}(T) = R_1(T) + R_2(T) = R_{1,0}(1 + \alpha_1 \Delta T) + R_{2,0}(1 + \alpha_2 \Delta T)$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$R_{общ}(T) = R_{1,0} + R_{1,0}\alpha_1 \Delta T + R_{2,0} + R_{2,0}\alpha_2 \Delta T$
$R_{общ}(T) = (R_{1,0} + R_{2,0}) + (R_{1,0}\alpha_1 + R_{2,0}\alpha_2)\Delta T$
По условию задачи, общее сопротивление $R_{общ}$ не зависит от температуры. Это означает, что при любом изменении температуры $\Delta T$ значение $R_{общ}(T)$ должно оставаться постоянным. Для этого необходимо, чтобы коэффициент при $\Delta T$ был равен нулю:
$R_{1,0}\alpha_1 + R_{2,0}\alpha_2 = 0$
Подставим в это равенство выражения для начальных сопротивлений $R_{1,0}$ и $R_{2,0}$:
$(\rho_1 \frac{l_1}{S})\alpha_1 + (\rho_2 \frac{l_2}{S})\alpha_2 = 0$
Так как стержни имеют одинаковую толщину, их площади поперечного сечения $S$ равны и их можно сократить:
$\rho_1 l_1 \alpha_1 + \rho_2 l_2 \alpha_2 = 0$
Выразим из этого уравнения искомое соотношение длин $\frac{l_2}{l_1}$:
$\rho_2 l_2 \alpha_2 = - \rho_1 l_1 \alpha_1$
$\frac{l_2}{l_1} = - \frac{\rho_1 \alpha_1}{\rho_2 \alpha_2}$
Подставим числовые значения из условия:
$\frac{l_2}{l_1} = - \frac{(4,0 \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (-8,0 \cdot 10^{-4} \text{ К}^{-1})}{(1,2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (6,0 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1})}$
$\frac{l_2}{l_1} = - \frac{-32 \cdot 10^{-9}}{7,2 \cdot 10^{-10}} = \frac{32 \cdot 10^{-9}}{7,2 \cdot 10^{-10}} = \frac{320}{7,2} = \frac{3200}{72} = \frac{400}{9} \approx 44,44...$
Поскольку исходные данные представлены с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.
$\frac{l_2}{l_1} \approx 44$
Ответ: Соотношение длин стержней должно быть $\frac{l_2}{l_1} \approx 44$.