Номер 1032, страница 190 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$U = 0,12 \text{ кВ}$

$I_1 = 3,0 \text{ А}$ (последовательное соединение)

$I_2 = 16 \text{ А}$ (параллельное соединение)

Перевод в систему СИ:
$U = 0,12 \text{ кВ} = 0,12 \cdot 10^3 \text{ В} = 120 \text{ В}$

Найти:

$R_1, R_2$

Решение:

1. Рассмотрим случай последовательного соединения резисторов. Общее сопротивление цепи $R_{посл}$ равно сумме сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

Согласно закону Ома для участка цепи, общее сопротивление можно найти как отношение напряжения к силе тока:

$R_{посл} = \frac{U}{I_1}$

Подставим числовые значения:

$R_{посл} = \frac{120 \text{ В}}{3,0 \text{ А}} = 40 \text{ Ом}$

Таким образом, мы получили первое уравнение для нахождения $R_1$ и $R_2$:

$R_1 + R_2 = 40$ (1)

2. Теперь рассмотрим случай параллельного соединения резисторов. Общее сопротивление цепи $R_{пар}$ вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2}$

Отсюда:

$R_{пар} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

С другой стороны, по закону Ома:

$R_{пар} = \frac{U}{I_2}$

Подставим числовые значения:

$R_{пар} = \frac{120 \text{ В}}{16 \text{ А}} = 7,5 \text{ Ом}$

Таким образом, мы получили второе соотношение:

$\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 7,5$ (2)

3. Решим систему из двух уравнений (1) и (2). Подставим значение суммы $R_1 + R_2$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$\frac{R_1 \cdot R_2}{40} = 7,5$

Отсюда найдем произведение сопротивлений:

$R_1 \cdot R_2 = 7,5 \cdot 40 = 300$ (3)

Теперь у нас есть система уравнений, которая легко решается (по теореме Виета, $R_1$ и $R_2$ являются корнями квадратного уравнения):

$\left\{\begin{array}{l} R_1 + R_2 = 40 \\ R_1 \cdot R_2 = 300 \end{array}\right.$

Выразим $R_2$ из первого уравнения: $R_2 = 40 - R_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$R_1 \cdot (40 - R_1) = 300$

$40R_1 - R_1^2 = 300$

$R_1^2 - 40R_1 + 300 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1600 - 1200 = 400$

Корни уравнения:

$R_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{40 \pm 20}{2}$

Получаем два возможных значения для сопротивлений:

$R' = \frac{40 + 20}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ Ом}$

$R'' = \frac{40 - 20}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ Ом}$

Таким образом, сопротивления резисторов равны 10 Ом и 30 Ом. Порядок не важен, поэтому можно принять $R_1 = 10 \text{ Ом}$ и $R_2 = 30 \text{ Ом}$.

Ответ: $R_1 = 10 \text{ Ом}$, $R_2 = 30 \text{ Ом}$ (или наоборот).