Номер 1179, страница 218 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Протон (частица 1) и дейтрон (частица 2)

Вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции: $\vec{v} \perp \vec{B}$

Период обращения протона: $T_1$

Период обращения дейтрона: $T_2$

Масса дейтрона $m_2$ и масса протона $m_1$: $m_2 = 2m_1$

Найти:

Соотношение между $T_1$ и $T_2$.

Решение:

Когда заряженная частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на нее начинает действовать сила Лоренца $F_Л$. Эта сила всегда перпендикулярна скорости частицы и вектору магнитной индукции, поэтому она сообщает частице центростремительное ускорение, заставляя ее двигаться по окружности.

Величина силы Лоренца определяется формулой:

$F_Л = qvB\sin\alpha$

где $q$ – заряд частицы, $v$ – ее скорость, $B$ – индукция магнитного поля, $\alpha$ – угол между векторами скорости и индукции. По условию, $\alpha = 90^\circ$, поэтому $\sin\alpha = 1$, и формула упрощается до:

$F_Л = qvB$

Сила Лоренца выступает в роли центростремительной силы $F_ц$, которая определяется вторым законом Ньютона:

$F_ц = ma_ц = \frac{mv^2}{r}$

где $m$ – масса частицы, $r$ – радиус окружности, по которой она движется.

Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы:

$qvB = \frac{mv^2}{r}$

Период обращения $T$ – это время, за которое частица совершает один полный оборот. Он связан со скоростью и радиусом окружности соотношением:

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Выразим радиус $r$ из уравнения сил:

$r = \frac{mv}{qB}$

Теперь подставим это выражение для радиуса в формулу для периода:

$T = \frac{2\pi}{v} \cdot \left(\frac{mv}{qB}\right) = \frac{2\pi m}{qB}$

Эта формула показывает, что период обращения частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости и радиуса траектории, а только от ее массы, заряда и индукции поля.

Применим эту формулу для протона и дейтрона.

Протон ($p$) – это ядро атома водорода $^1_1H$. Его заряд равен элементарному заряду $q_1 = e$, а массу обозначим $m_1 = m_p$.

Период обращения протона: $T_1 = \frac{2\pi m_1}{q_1 B} = \frac{2\pi m_p}{eB}$.

Дейтрон ($d$) – это ядро изотопа водорода $^2_1H$, состоящее из одного протона и одного нейтрона. Его заряд также равен элементарному заряду $q_2 = e$, а масса, по условию, в два раза больше массы протона: $m_2 = 2m_p = 2m_1$.

Период обращения дейтрона: $T_2 = \frac{2\pi m_2}{q_2 B} = \frac{2\pi (2m_p)}{eB}$.

Теперь найдем отношение периодов $T_2$ и $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{\frac{2\pi (2m_p)}{eB}}{\frac{2\pi m_p}{eB}} = \frac{2m_p}{m_p} = 2$

Отсюда получаем, что $T_2 = 2T_1$.

Ответ: Период обращения дейтрона в два раза больше периода обращения протона, $T_2 = 2T_1$.