Номер 1193, страница 220 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса тела: $m$

Заряд тела: $q$

Индукция магнитного поля: $B$

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Коэффициент трения: $\mu$

Найти:

Максимальная скорость тела: $v$

Решение:

На заряженное тело, скользящее по наклонной плоскости, действуют четыре силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ и сила Лоренца $\vec{F}_Л$.

Максимальная скорость достигается тогда, когда ускорение тела становится равным нулю, то есть когда сумма всех действующих на него сил становится равной нулю. По второму закону Ньютона:

$m\vec{a} = \vec{F_g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_Л$

При $v = v_{max}$, ускорение $a=0$, следовательно:

$\vec{F_g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_Л = 0$

Введем систему координат. Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вниз (в направлении движения тела), а ось $Oy$ — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

Распишем проекции сил на эти оси:

1. Сила тяжести $\vec{F_g}$ имеет проекции:

$F_{gx} = mg \sin\alpha$

$F_{gy} = -mg \cos\alpha$

2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ направлена вдоль оси $Oy$:

$N_x = 0$

$N_y = N$

3. Сила Лоренца $\vec{F}_Л$. Скорость тела $\vec{v}$ направлена вдоль оси $Ox$. Магнитное поле $\vec{B}$ направлено горизонтально и параллельно наклонной плоскости, то есть перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}$. По правилу левой руки (при условии $q > 0$), сила Лоренца направлена перпендикулярно плоскости, "вжимая" тело в нее (вдоль оси $Oy$ в отрицательном направлении). Модуль силы Лоренца равен:

$F_Л = qvB\sin(90^\circ) = qvB$

Проекции силы Лоренца на оси:

$F_{Лx} = 0$

$F_{Лy} = -qvB$

4. Сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ направлена против движения (вдоль оси $Ox$ в отрицательном направлении). Ее модуль равен $F_{тр} = \mu N$.

$F_{трx} = -\mu N$

$F_{тpy} = 0$

Теперь запишем уравнения равновесия в проекциях на оси координат:

На ось $Oy$: $N - mg \cos\alpha - qvB = 0$

На ось $Ox$: $mg \sin\alpha - F_{тр} = 0 \implies mg \sin\alpha - \mu N = 0$

Из уравнения для оси $Oy$ выразим силу нормальной реакции опоры $N$:

$N = mg \cos\alpha + qvB$

Подставим это выражение для $N$ в уравнение для оси $Ox$:

$mg \sin\alpha - \mu (mg \cos\alpha + qvB) = 0$

Это уравнение описывает состояние, когда скорость тела постоянна и максимальна ($v = v_{max}$). Выразим из него $v$:

$mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha - \mu qvB = 0$

$\mu qvB = mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha$

$\mu qvB = mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

$v = \frac{mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}{\mu q B}$

Движение возможно только в том случае, если проекция силы тяжести на наклонную плоскость больше начальной силы трения, то есть $mg \sin\alpha > \mu mg \cos\alpha$, или $\sin\alpha > \mu \cos\alpha$. Если это условие не выполняется, тело не начнет движение, и его максимальная скорость будет равна нулю.

Ответ: $v = \frac{mg(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}{\mu q B}$