Номер 1286, страница 240 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса шарика: $m$

Заряд шарика: $q$

Длина нити: $l$

Ускорение свободного падения: $\vec{g}$

Напряженность электростатического поля: $\vec{E}$

Векторы $\vec{g}$ и $\vec{E}$ совпадают по направлению.

Найти:

Период малых колебаний: $T$

Решение:

На заряженный шарик, подвешенный на нити, действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, электрическая сила со стороны однородного поля $\vec{F_e} = q\vec{E}$ и сила натяжения нити $\vec{T_{н}}$.

По условию задачи, векторы ускорения свободного падения $\vec{g}$ и напряженности электростатического поля $\vec{E}$ совпадают по направлению. Выберем ось, направленную вертикально вниз, вдоль этих векторов.

Суммарная сила, действующая на шарик со стороны гравитационного и электростатического полей, направлена вертикально вниз и равна по модулю:

$F_{сум} = F_g + F_e = mg + qE$

Здесь мы учли, что проекции сил на вертикальную ось складываются. Эта формула верна как для положительного, так и для отрицательного заряда $q$. Если $q < 0$, то сила $\vec{F_e}$ будет направлена против вектора $\vec{E}$, и ее проекция на выбранную ось будет отрицательной.

Движение такого маятника аналогично движению математического маятника в поле тяжести с некоторым "эффективным" ускорением свободного падения $g_{эфф}$. Эффективная сила тяжести, действующая на шарик, равна $F_{сум}$. По определению, ее можно записать как $F_{сум} = m g_{эфф}$.

Приравняем два выражения для суммарной силы:

$m g_{эфф} = mg + qE$

Отсюда находим эффективное ускорение:

$g_{эфф} = g + \frac{qE}{m}$

Период малых колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{a}}$

где $l$ — длина нити, а $a$ — ускорение свободного падения. В нашем случае роль ускорения свободного падения играет $g_{эфф}$. Подставив его в формулу периода, получим:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g + \frac{qE}{m}}}$

Для того чтобы колебания были возможны, необходимо, чтобы положение равновесия находилось в нижней точке, то есть чтобы эффективная сила тяжести была направлена вниз. Это означает, что $g_{эфф} > 0$, или $g + \frac{qE}{m} > 0$. Поскольку в условии говорится о колебаниях, это условие считается выполненным.

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g + \frac{qE}{m}}}$