Номер 1462, страница 271 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$d = 30 \text{ мм}$

$\alpha = 60^{\circ}$

$n = 1,5$

$n_1 = 1$ (показатель преломления воздуха)

$d = 30 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$l - ?$

$\beta_2 - ?$

Решение:

Определите оптическую длину пути луча l в пластинке.

Оптическая длина пути $l$ определяется как произведение геометрической длины пути $s$ луча в среде на абсолютный показатель преломления этой среды $n$.

$l = n \cdot s$

Сначала найдем геометрическую длину пути $s$. Когда луч света падает на границу раздела двух сред (воздух-стекло) под углом падения $\alpha$, он преломляется и распространяется в стекле под углом преломления $\beta_1$. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha = n \sin\beta_1$

Поскольку луч падает из воздуха, $n_1 = 1$, следовательно:

$\sin\alpha = n \sin\beta_1 \implies \sin\beta_1 = \frac{\sin\alpha}{n}$

Путь луча в пластинке $s$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетом которого является толщина пластинки $d$. Угол, прилежащий к этому катету, равен углу преломления $\beta_1$. Из этого треугольника находим:

$\cos\beta_1 = \frac{d}{s} \implies s = \frac{d}{\cos\beta_1}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta_1 + \cos^2\beta_1 = 1$, выразим $\cos\beta_1$:

$\cos\beta_1 = \sqrt{1 - \sin^2\beta_1} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin\alpha}{n}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\alpha}{n^2}}$

Теперь можем записать формулу для оптической длины пути $l$:

$l = n \cdot s = n \cdot \frac{d}{\sqrt{1 - \frac{\sin^2\alpha}{n^2}}} = \frac{n \cdot d}{\frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{n}} = \frac{n^2 d}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}$

Подставим числовые значения:

$n = 1,5 = \frac{3}{2} \implies n^2 = 2,25$

$\alpha = 60^{\circ} \implies \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \sin^2\alpha = \frac{3}{4} = 0,75$

$d = 30 \text{ мм}$

$l = \frac{2,25 \cdot 30 \text{ мм}}{\sqrt{2,25 - 0,75}} = \frac{67,5 \text{ мм}}{\sqrt{1,5}} = \frac{67,5 \text{ мм}}{\sqrt{3/2}} = \frac{67,5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \text{ мм} = \frac{67,5 \sqrt{6}}{3} \text{ мм} = 22,5\sqrt{6} \text{ мм}$

Вычислим приближенное значение:

$l \approx 22,5 \cdot 2,449 \approx 55,11 \text{ мм}$

Ответ: оптическая длина пути луча в пластинке $l \approx 55,1 \text{ мм}$.

Под каким углом $\beta_2$ он выйдет из пластинки?

Когда луч света достигает второй границы раздела сред (стекло-воздух), он снова преломляется, выходя из пластинки. Так как пластинка плоскопараллельная, то нормаль ко второй поверхности параллельна нормали к первой. Это означает, что угол падения луча на вторую границу равен углу преломления на первой границе, то есть $\beta_1$.

Запишем закон Снеллиуса для выхода луча из пластинки в воздух:

$n \sin\beta_1 = n_1 \sin\beta_2$

где $\beta_2$ — угол выхода луча из пластинки (угол преломления на второй границе).

Из закона преломления для первой границы мы имеем: $n_1 \sin\alpha = n \sin\beta_1$.

Сравнивая левые части двух уравнений, получаем:

$n_1 \sin\alpha = n_1 \sin\beta_2$

$\sin\alpha = \sin\beta_2$

Так как углы падения и преломления находятся в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$, из равенства синусов следует равенство самих углов:

$\beta_2 = \alpha$

Подставляя значение угла падения, получаем:

$\beta_2 = 60^{\circ}$

Это означает, что вышедший из плоскопараллельной пластинки луч параллелен падающему лучу.

Ответ: луч выйдет из пластинки под углом $\beta_2 = 60^{\circ}$.