Номер 1575, страница 288 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Скорость электрона, $v = 6,4 \cdot 10^7$ м/с
Масса покоя электрона, $m_0 \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Модуль импульса $p$
Кинетическую энергию $E_k$
Ошибку в процентах при использовании классических формул, $\delta_p$ и $\delta_{E_k}$

Решение:

Скорость электрона составляет $v/c = (6,4 \cdot 10^7) / (3 \cdot 10^8) \approx 0,213$, что является значительной долей от скорости света. Поэтому для точных расчетов необходимо использовать формулы релятивистской механики.

Определение модуля импульса p и кинетической энергии E_k

Сначала вычислим релятивистский фактор (Лоренц-фактор):
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{6,4 \cdot 10^7}{3 \cdot 10^8})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,2133^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,0455}} = \frac{1}{\sqrt{0,9545}} \approx 1,0235$
Релятивистский импульс $p$ вычисляется по формуле:
$p = \gamma m_0 v = 1,0235 \cdot (9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (6,4 \cdot 10^7 \text{ м/с}) \approx 5,97 \cdot 10^{-23} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$
Релятивистская кинетическая энергия $E_k$ вычисляется по формуле:
$E_k = (\gamma - 1) m_0 c^2 = (1,0235 - 1) \cdot (9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2$
$E_k = 0,0235 \cdot (9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (9 \cdot 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2) \approx 1,93 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$
Ответ: $p \approx 5,97 \cdot 10^{-23} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$, $E_k \approx 1,93 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$.

На сколько процентов вы ошибетесь, если примените для расчета классические формулы?

Рассчитаем импульс и кинетическую энергию по классическим формулам.
Классический импульс $p_{кл}$:
$p_{кл} = m_0 v = (9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (6,4 \cdot 10^7 \text{ м/с}) \approx 5,83 \cdot 10^{-23} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$
Классическая кинетическая энергия $E_{к,кл}$:
$E_{к,кл} = \frac{m_0 v^2}{2} = \frac{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (6,4 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2}{2} \approx 1,87 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$
Теперь найдем относительную ошибку в процентах для каждой величины. За истинные значения принимаем релятивистские.
Ошибка для импульса $\delta_p$:
$\delta_p = \frac{|p - p_{кл}|}{p} \cdot 100\% = \frac{|5,97 \cdot 10^{-23} - 5,83 \cdot 10^{-23}|}{5,97 \cdot 10^{-23}} \cdot 100\% \approx \frac{0,14}{5,97} \cdot 100\% \approx 2,3\%$
Ошибка для кинетической энергии $\delta_{E_k}$:
$\delta_{E_k} = \frac{|E_k - E_{к,кл}|}{E_k} \cdot 100\% = \frac{|1,93 \cdot 10^{-15} - 1,87 \cdot 10^{-15}|}{1,93 \cdot 10^{-15}} \cdot 100\% \approx \frac{0,06}{1,93} \cdot 100\% \approx 3,1\%$
Ответ: Ошибка в расчете импульса составит примерно 2,3%, а в расчете кинетической энергии — примерно 3,1%.