Номер 1703, страница 309 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Изотоп бериллия-8: $_{4}^{8}\text{Be}$

Изотоп бериллия-9: $_{4}^{9}\text{Be}$

Масса ядра $_{4}^{8}\text{Be}$: $m_1 = 8,005308 \text{ а. е. м.}$

Масса ядра $_{4}^{9}\text{Be}$: $m_2 = 9,012186 \text{ а. е. м.}$

Масса протона: $m_p = 1,007276 \text{ а. е. м.}$

Масса нейтрона: $m_n = 1,008665 \text{ а. е. м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а. е. м.} \cdot c^2 = 931,5 \text{ МэВ}$

Найти:

Определить, ядро какого изотопа стабильнее.

Решение:

Стабильность атомного ядра характеризуется удельной энергией связи — энергией связи, приходящейся на один нуклон (протон или нейтрон) в ядре. Чем больше удельная энергия связи, тем прочнее и, следовательно, стабильнее ядро.

Удельная энергия связи ($\epsilon$) вычисляется по формуле:

$\epsilon = \frac{E_{св}}{A}$

где $E_{св}$ — энергия связи ядра, а $A$ — массовое число (общее число нуклонов).

Энергия связи, в свою очередь, определяется дефектом масс ($\Delta m$) ядра согласно формуле Эйнштейна:

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммарной массой всех нуклонов, из которых состоит ядро, и реальной массой самого ядра:

$\Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{ядра}$

где $Z$ — число протонов, $N$ — число нейтронов.

Рассчитаем удельную энергию связи для каждого изотопа бериллия.

a) $_{4}^{8}\text{Be}$

Ядро этого изотопа состоит из $Z_1 = 4$ протонов и $N_1 = A_1 - Z_1 = 8 - 4 = 4$ нейтронов.

Суммарная масса нуклонов, составляющих ядро:

$Z_1 m_p + N_1 m_n = 4 \cdot 1,007276 \text{ а. е. м.} + 4 \cdot 1,008665 \text{ а. е. м.} = 4,029104 + 4,03466 = 8,063764 \text{ а. е. м.}$

Дефект масс ядра $_{4}^{8}\text{Be}$:

$\Delta m_1 = (Z_1 m_p + N_1 m_n) - m_1 = 8,063764 \text{ а. е. м.} - 8,005308 \text{ а. е. м.} = 0,058456 \text{ а. е. м.}$

Энергия связи ядра $_{4}^{8}\text{Be}$:

$E_{св1} = \Delta m_1 \cdot c^2 = 0,058456 \cdot 931,5 \text{ МэВ} \approx 54,443 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи ядра $_{4}^{8}\text{Be}$:

$\epsilon_1 = \frac{E_{св1}}{A_1} = \frac{54,443 \text{ МэВ}}{8} \approx 6,805 \text{ МэВ/нуклон}$

б) $_{4}^{9}\text{Be}$

Ядро этого изотопа состоит из $Z_2 = 4$ протонов и $N_2 = A_2 - Z_2 = 9 - 4 = 5$ нейтронов.

Суммарная масса нуклонов, составляющих ядро:

$Z_2 m_p + N_2 m_n = 4 \cdot 1,007276 \text{ а. е. м.} + 5 \cdot 1,008665 \text{ а. е. м.} = 4,029104 + 5,043325 = 9,072429 \text{ а. е. м.}$

Дефект масс ядра $_{4}^{9}\text{Be}$:

$\Delta m_2 = (Z_2 m_p + N_2 m_n) - m_2 = 9,072429 \text{ а. е. м.} - 9,012186 \text{ а. е. м.} = 0,060243 \text{ а. е. м.}$

Энергия связи ядра $_{4}^{9}\text{Be}$:

$E_{св2} = \Delta m_2 \cdot c^2 = 0,060243 \cdot 931,5 \text{ МэВ} \approx 56,116 \text{ МэВ}$

Удельная энергия связи ядра $_{4}^{9}\text{Be}$:

$\epsilon_2 = \frac{E_{св2}}{A_2} = \frac{56,116 \text{ МэВ}}{9} \approx 6,235 \text{ МэВ/нуклон}$

Сравним полученные значения удельной энергии связи:

$\epsilon_1(_{4}^{8}\text{Be}) \approx 6,805 \text{ МэВ/нуклон}$

$\epsilon_2(_{4}^{9}\text{Be}) \approx 6,235 \text{ МэВ/нуклон}$

Поскольку $\epsilon_1 > \epsilon_2$, удельная энергия связи ядра изотопа бериллия-8 больше, чем у ядра изотопа бериллия-9. Следовательно, на основании этих вычислений, ядро $_{4}^{8}\text{Be}$ является более стабильным.

Ответ: ядро изотопа $_{4}^{8}\text{Be}$ стабильнее.