Номер 24, страница 13 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Время подъема неподвижного пассажира на эскалаторе: $Δt_1 = 10 \text{ мин}$
Время подъема пассажира по неподвижному эскалатору: $Δt_2 = 3,0 \text{ мин}$

$Δt_1 = 10 \text{ мин} = 10 \times 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$
$Δt_2 = 3,0 \text{ мин} = 3 \times 60 \text{ с} = 180 \text{ с}$

Найти:

$Δt_3$ — ?
$Δt_4$ — ?

Решение:

Обозначим длину эскалатора как $L$. Скорость эскалатора $v_э$ можно найти из первого условия. Когда пассажир стоит, он перемещается на длину $L$ за время $Δt_1$ только за счет скорости эскалатора.

$v_э = \frac{L}{Δt_1}$

Скорость пассажира относительно эскалатора $v_п$ можно найти из второго условия. Когда эскалатор неподвижен, пассажир поднимается на длину $L$ за время $Δt_2$ за счет собственной скорости.

$v_п = \frac{L}{Δt_2}$

а) В этом случае пассажир идет вверх по эскалатору, который тоже движется вверх. Скорости пассажира и эскалатора складываются. Результирующая скорость пассажира относительно земли $v_3$ равна:

$v_3 = v_э + v_п = \frac{L}{Δt_1} + \frac{L}{Δt_2}$

Время подъема $Δt_3$ равно длине эскалатора, деленной на результирующую скорость.

$Δt_3 = \frac{L}{v_3} = \frac{L}{\frac{L}{Δt_1} + \frac{L}{Δt_2}} = \frac{1}{\frac{1}{Δt_1} + \frac{1}{Δt_2}} = \frac{Δt_1 \cdot Δt_2}{Δt_1 + Δt_2}$

Подставим числовые значения в минутах, так как они имеют одинаковую размерность:

$Δt_3 = \frac{10 \text{ мин} \cdot 3,0 \text{ мин}}{10 \text{ мин} + 3,0 \text{ мин}} = \frac{30}{13} \text{ мин} \approx 2,3 \text{ мин}$

Ответ: время подъема пассажира, идущего вверх по движущемуся эскалатору, $Δt_3 \approx 2,3$ мин.

б) В этом случае пассажир идет вниз по эскалатору, который движется вверх. Фраза "поднимется ... вниз" сформулирована противоречиво. Вероятнее всего, требуется найти время, за которое пассажир спустится с верхнего конца эскалатора на нижний.

Скорость пассажира $v_п$ направлена вниз, а скорость эскалатора $v_э$ — вверх. Сравним модули скоростей: $v_э = \frac{L}{10}$, $v_п = \frac{L}{3,0}$. Так как $10 > 3,0$, то $v_э < v_п$. Скорость пассажира больше скорости эскалатора, поэтому он будет двигаться вниз относительно земли.

Результирующая скорость пассажира относительно земли $v_4$ направлена вниз и равна разности скоростей:

$v_4 = v_п - v_э = \frac{L}{Δt_2} - \frac{L}{Δt_1}$

Время спуска $Δt_4$ равно длине эскалатора, деленной на результирующую скорость.

$Δt_4 = \frac{L}{v_4} = \frac{L}{\frac{L}{Δt_2} - \frac{L}{Δt_1}} = \frac{1}{\frac{1}{Δt_2} - \frac{1}{Δt_1}} = \frac{Δt_1 \cdot Δt_2}{Δt_1 - Δt_2}$

Подставим числовые значения:

$Δt_4 = \frac{10 \text{ мин} \cdot 3,0 \text{ мин}}{10 \text{ мин} - 3,0 \text{ мин}} = \frac{30}{7} \text{ мин} \approx 4,3 \text{ мин}$

Ответ: время спуска пассажира, идущего вниз по поднимающемуся эскалатору, $Δt_4 \approx 4,3$ мин.