Номер 365, страница 70 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$V = 5.0 \cdot 10^3 \, м^3$

$m = 4.0 \cdot 10^3 \, кг$

$\Delta t = 10 \, с$

$\rho \approx 1.3 \, \frac{кг}{м^3}$

$v_0 = 0 \, \frac{м}{с}$

Найти:

$h$ - ?

Решение:

На аэростат, поднимающийся вертикально вверх, действуют две основные силы: выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх, и сила тяжести $F_g$, направленная вниз. Сопротивлением воздуха по условию задачи пренебрегаем.

Сила Архимеда, действующая на аэростат, равна весу вытесненного им воздуха:

$F_A = \rho \cdot g \cdot V$

где $\rho$ — плотность воздуха, $g$ — ускорение свободного падения, $V$ — объем аэростата.

Сила тяжести, действующая на аэростат с грузом:

$F_g = m \cdot g$

где $m$ — общая масса аэростата.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил $F_{равн}$ сообщает аэростату ускорение $a$:

$F_{равн} = m \cdot a$

Так как аэростат поднимается вверх, равнодействующая сила направлена вверх и равна:

$F_{равн} = F_A - F_g$

Приравнивая правые части, получаем уравнение движения:

$m \cdot a = \rho \cdot g \cdot V - m \cdot g$

Из этого уравнения выразим ускорение аэростата $a$:

$a = \frac{\rho \cdot g \cdot V - m \cdot g}{m} = g \left( \frac{\rho V}{m} - 1 \right)$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \frac{м}{с^2}$ и подставим числовые значения:

$a = 10 \, \frac{м}{с^2} \cdot \left( \frac{1.3 \, \frac{кг}{м^3} \cdot 5.0 \cdot 10^3 \, м^3}{4.0 \cdot 10^3 \, кг} - 1 \right) = 10 \cdot \left( \frac{6.5 \cdot 10^3}{4.0 \cdot 10^3} - 1 \right) = 10 \cdot (1.625 - 1) = 10 \cdot 0.625 = 6.25 \, \frac{м}{с^2}$

Поскольку аэростат начинает движение равноускоренно из состояния покоя ($v_0 = 0$), высоту $h$, на которую он поднимется за время $\Delta t$, можно найти по формуле кинематики:

$h = v_0 \Delta t + \frac{a (\Delta t)^2}{2}$

Подставляя $v_0 = 0$, получаем:

$h = \frac{a (\Delta t)^2}{2}$

Вычислим искомую высоту:

$h = \frac{6.25 \, \frac{м}{с^2} \cdot (10 \, с)^2}{2} = \frac{6.25 \cdot 100}{2} \, м = \frac{625}{2} \, м = 312.5 \, м$

Ответ: аэростат поднимется на высоту $h = 312.5 \, м$.