Номер 405, страница 77 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угловая скорость вращения: $\omega$

Атмосферное давление: $p_a$

Плотность ртути: $\rho$

Высота столба ртути в вертикальном колене: $H$

Расстояние от оси вращения до изгиба трубки: $R$

Расстояние от оси вращения до запаянного конца трубки: $3R$

Найти:

Давление в месте изгиба трубки: $p_1$

Давление у запаянного конца трубки: $p_2$

Решение:

Найдите давление $p_1$ ртути в месте изгиба трубки.

Давление $p_1$ в месте изгиба трубки создается давлением столба ртути высотой $H$ в вертикальном колене и атмосферным давлением $p_a$, действующим на открытую поверхность ртути. Поскольку вращение не влияет на распределение давления в вертикальном направлении (сила тяжести действует вдоль оси $z$, а центробежная сила - в радиальном направлении), мы можем использовать основную формулу гидростатики. Давление на глубине $H$ будет равно сумме давления на поверхности и гидростатического давления столба жидкости:

$p_1 = p_a + \rho g H$

где $\rho$ - плотность ртути, а $g$ - ускорение свободного падения.

Ответ: $p_1 = p_a + \rho g H$.

Определите давление $p_2$ ртути у запаянного конца трубки.

Давление $p_2$ у запаянного конца (на расстоянии $3R$ от оси вращения) отличается от давления $p_1$ в месте изгиба (на расстоянии $R$ от оси) из-за действия центробежной силы во вращающейся жидкости. В неинерциальной системе отсчета, связанной с платформой, на элемент жидкости объемом $dV$ на расстоянии $r$ от оси вращения действует центробежная сила $dF_ц = (\rho dV) \omega^2 r$. Эта сила создает градиент давления в радиальном направлении, который описывается уравнением:

$\frac{dp}{dr} = \rho \omega^2 r$

Для нахождения разности давлений между запаянным концом ($r_2 = 3R$) и изгибом ($r_1 = R$) проинтегрируем это выражение:

$\int_{p_1}^{p_2} dp = \int_{R}^{3R} \rho \omega^2 r dr$

Вычисляем интеграл:

$p_2 - p_1 = \rho \omega^2 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{R}^{3R} = \frac{\rho \omega^2}{2} ((3R)^2 - R^2)$

$p_2 - p_1 = \frac{\rho \omega^2}{2} (9R^2 - R^2) = \frac{\rho \omega^2}{2} (8R^2) = 4 \rho \omega^2 R^2$

Теперь выразим давление $p_2$, используя найденное ранее выражение для $p_1$:

$p_2 = p_1 + 4 \rho \omega^2 R^2 = (p_a + \rho g H) + 4 \rho \omega^2 R^2$

Ответ: $p_2 = p_a + \rho g H + 4 \rho \omega^2 R^2$.