Номер 467, страница 89 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Высота трубы: $H$

Толщина стенок: $b$

Плотность материала: $\rho$

Внутренний радиус: $R$

Найти:

Работу силы тяжести: $A$

Решение:

Работа, совершаемая консервативной силой, какой является сила тяжести, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком:

$A = -\Delta E_p = -(E_{p,кон} - E_{p,нач})$

Будем считать, что строительство трубы ведется путем подъема материала с некоторого начального нулевого уровня (например, с поверхности земли). В этом случае начальная потенциальная энергия материала равна нулю: $E_{p,нач} = 0$.

Конечная потенциальная энергия построенной трубы определяется ее массой $m$ и высотой ее центра масс $h_{cm}$ над начальным уровнем:

$E_{p,кон} = mgh_{cm}$

Таким образом, работа силы тяжести будет равна:

$A = -E_{p,кон} = -mgh_{cm}$

Найдем массу трубы. Сначала определим ее объем $V$. Труба представляет собой полый цилиндр. Ее поперечное сечение — это кольцо. Внутренний радиус кольца равен $R$, а внешний радиус $R_{внеш}$ равен сумме внутреннего радиуса и толщины стенки:

$R_{внеш} = R + b$

Площадь поперечного сечения $S$ равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов:

$S = \pi R_{внеш}^2 - \pi R^2 = \pi (R+b)^2 - \pi R^2$

Раскроем скобки:

$S = \pi (R^2 + 2Rb + b^2 - R^2) = \pi (2Rb + b^2) = \pi b(2R + b)$

Объем трубы $V$ равен произведению площади ее поперечного сечения $S$ на высоту $H$:

$V = S \cdot H = \pi H b(2R + b)$

Масса трубы $m$ равна произведению ее объема $V$ на плотность материала $\rho$:

$m = \rho V = \rho \pi H b(2R + b)$

Для однородного тела правильной геометрической формы, такого как цилиндрическая труба, центр масс находится в ее геометрическом центре. Поскольку труба стоит вертикально, ее центр масс будет находиться на оси симметрии на половине высоты:

$h_{cm} = \frac{H}{2}$

Теперь подставим выражения для массы $m$ и высоты центра масс $h_{cm}$ в формулу для работы $A$:

$A = -mgh_{cm} = -(\rho \pi H b(2R + b)) \cdot g \cdot \frac{H}{2}$

$A = -\frac{1}{2} \rho \pi g H^2 b(2R + b)$

Знак минус в ответе означает, что работа силы тяжести отрицательна, так как при постройке трубы (подъеме материала) сила тяжести направлена противоположно перемещению.

Ответ: $A = -\frac{1}{2} \rho \pi g H^2 b(2R + b)$