Номер 481, страница 91 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$h = 1,5$ м

$\Delta h_1 = 10$ см

Перевод в систему СИ:
$\Delta h_1 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h_2$ - ?

Решение:

Рассмотрим два случая.

1. Гимнаст спокойно лежит на сетке. В этом случае сила тяжести гимнаста $mg$ уравновешивается силой упругости сетки $F_{упр}$. Сетку можно рассматривать как пружину, поэтому по закону Гука $F_{упр} = k \Delta h_1$, где $k$ – жесткость сетки.

Условие равновесия:

$mg = k \Delta h_1$ (1)

Отсюда можно выразить жесткость сетки $k = \frac{mg}{\Delta h_1}$.

2. Гимнаст падает на сетку с высоты $h$. В этом случае применим закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение гимнаста при максимальном прогибе сетки $\Delta h_2$.

Начальное состояние: гимнаст находится на высоте $(h + \Delta h_2)$ относительно нулевого уровня, его скорость равна нулю. Полная механическая энергия системы (гимнаст-Земля-сетка) равна потенциальной энергии гимнаста:

$E_1 = mg(h + \Delta h_2)$

Конечное состояние: гимнаст находится на нулевом уровне, его скорость в момент максимального прогиба равна нулю. Вся механическая энергия перешла в потенциальную энергию упруго деформированной сетки:

$E_2 = \frac{k(\Delta h_2)^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mg(h + \Delta h_2) = \frac{k(\Delta h_2)^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для $mg$ из формулы (1):

$k \Delta h_1 (h + \Delta h_2) = \frac{k(\Delta h_2)^2}{2}$

Сократим на $k$ (так как $k \neq 0$):

$\Delta h_1 (h + \Delta h_2) = \frac{(\Delta h_2)^2}{2}$

$2\Delta h_1 h + 2\Delta h_1 \Delta h_2 = (\Delta h_2)^2$

Получаем квадратное уравнение относительно $\Delta h_2$:

$(\Delta h_2)^2 - 2\Delta h_1 \Delta h_2 - 2\Delta h_1 h = 0$

Подставим числовые значения в СИ:

$(\Delta h_2)^2 - 2 \cdot 0,1 \cdot \Delta h_2 - 2 \cdot 0,1 \cdot 1,5 = 0$

$(\Delta h_2)^2 - 0,2 \Delta h_2 - 0,3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-0,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0,3) = 0,04 + 1,2 = 1,24$

Найдем корни:

$\Delta h_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,2 \pm \sqrt{1,24}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{1,24} \approx 1,114$

$\Delta h_2 = \frac{0,2 \pm 1,114}{2}$

Так как прогиб сетки не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$\Delta h_2 = \frac{0,2 + 1,114}{2} = \frac{1,314}{2} = 0,657$ м.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $\Delta h_2 \approx 0,66$ м или 66 см.

Ответ: максимальный прогиб сетки $\Delta h_2 \approx 0,66$ м.