Номер 576, страница 105 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 0,30$ кг

$m_2 = 0,60$ кг

$k = 0,50 \frac{\text{кН}}{\text{м}}$

$m = 0,10$ кг

$v = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Перевод в систему СИ:
$k = 0,50 \frac{\text{кН}}{\text{м}} = 0,50 \cdot 10^3 \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 500 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Найти:

$\Delta l_{max}$

Решение:

Задачу можно разбить на два этапа. Первый этап — абсолютно упругое столкновение шарика массой $m$ с бруском массой $m_1$. Второй этап — движение системы двух брусков, соединенных пружиной, после столкновения.

1. Абсолютно упругое столкновение.

При абсолютно упругом столкновении сохраняются и импульс, и кинетическая энергия системы «шарик-брусок $m_1$». Запишем законы сохранения в проекции на горизонтальную ось. Начальные скорости брусков равны нулю.

Закон сохранения импульса:

$mv = mv' + m_1 v_1'$

где $v$ и $v'$ — скорости шарика до и после столкновения, $v_1'$ — скорость бруска $m_1$ сразу после столкновения.

Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{mv^2}{2} = \frac{m(v')^2}{2} + \frac{m_1(v_1')^2}{2}$

Решая эту систему уравнений, можно найти скорость бруска $m_1$ после столкновения:

$v_1' = \frac{2m}{m + m_1}v$

Подставим числовые значения:

$v_1' = \frac{2 \cdot 0,10 \text{ кг}}{0,10 \text{ кг} + 0,30 \text{ кг}} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{0,20}{0,40} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

2. Движение системы брусков.

После столкновения брусок $m_1$ начинает двигаться со скоростью $v_1'$, сжимая пружину, которая, в свою очередь, начинает толкать брусок $m_2$. Максимальное удлинение пружины $\Delta l_{max}$ будет в тот момент, когда скорости обоих брусков станут одинаковыми и равными $u$. В этот момент их относительная скорость равна нулю.

Для системы двух брусков ($m_1$ и $m_2$) внешние горизонтальные силы отсутствуют, поэтому выполняется закон сохранения импульса. Начальный импульс системы (сразу после столкновения) равен импульсу бруска $m_1$.

$m_1 v_1' = (m_1 + m_2)u$

Отсюда найдем скорость $u$ брусков в момент максимального удлинения пружины:

$u = \frac{m_1 v_1'}{m_1 + m_2}$

Также для системы брусков выполняется закон сохранения механической энергии, так как поверхность гладкая. Начальная энергия системы (сразу после столкновения) — это кинетическая энергия бруска $m_1$. Конечная энергия (в момент максимального удлинения) — это сумма кинетической энергии двух брусков, движущихся как единое целое, и потенциальной энергии растянутой пружины.

$\frac{m_1(v_1')^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)u^2}{2} + \frac{k(\Delta l_{max})^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для скорости $u$:

$\frac{m_1(v_1')^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_1 v_1'}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{k(\Delta l_{max})^2}{2}$

$m_1(v_1')^2 = \frac{m_1^2 (v_1')^2}{m_1 + m_2} + k(\Delta l_{max})^2$

$k(\Delta l_{max})^2 = m_1(v_1')^2 - \frac{m_1^2 (v_1')^2}{m_1 + m_2} = m_1(v_1')^2 \left( 1 - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right) = \frac{m_1 m_2 (v_1')^2}{m_1 + m_2}$

Выразим максимальное удлинение $\Delta l_{max}$:

$\Delta l_{max} = v_1' \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$

Подставим числовые значения:

$\Delta l_{max} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sqrt{\frac{0,30 \text{ кг} \cdot 0,60 \text{ кг}}{500 \frac{\text{Н}}{\text{м}}(0,30 \text{ кг} + 0,60 \text{ кг})}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{0,18}{500 \cdot 0,90}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{0,18}{450}} = 5 \cdot \sqrt{0,0004} = 5 \cdot 0,02 \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

Ответ: максимальное удлинение пружины составляет $0,1$ м.