Номер 662, страница 123 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Идеальный газ, масса $m = \text{const}$

Процессы изохорные: $V_1 = \text{const}$, $V_2 = \text{const}$

Графики в координатах p-T

Угол наклона изохоры для объема $V_1$ к оси T: $\alpha_1$

Угол наклона изохоры для объема $V_2$ к оси T: $\alpha_2$

Найти:

Отношение объемов $\frac{V_1}{V_2}$

Решение:

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \frac{m}{M}RT$

где $p$ – давление, $V$ – объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Для изохорного процесса объем газа постоянен ($V = \text{const}$). Выразим давление $p$ из уравнения состояния, чтобы получить зависимость $p(T)$:

$p = (\frac{mR}{MV})T$

Поскольку масса газа $m$, его молярная масса $M$ и универсальная газовая постоянная $R$ являются постоянными величинами, то для изохорного процесса выражение в скобках является постоянным коэффициентом. Обозначим его как $k = \frac{mR}{MV}$. Тогда уравнение принимает вид:

$p = kT$

Это уравнение представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат в системе p-T. Коэффициент пропорциональности $k$ является тангенсом угла наклона этой прямой к оси абсцисс (оси T).

Для первого состояния газа (с объемом $V_1$) угол наклона графика равен $\alpha_1$, следовательно, угловой коэффициент равен:

$\tan(\alpha_1) = k_1 = \frac{mR}{MV_1}$

Для второго состояния газа (с объемом $V_2$) угол наклона графика равен $\alpha_2$, следовательно, угловой коэффициент равен:

$\tan(\alpha_2) = k_2 = \frac{mR}{MV_2}$

Чтобы найти отношение объемов $\frac{V_1}{V_2}$, выразим объемы из каждого уравнения и найдем их отношение.

Из первого уравнения: $V_1 = \frac{mR}{M \tan(\alpha_1)}$

Из второго уравнения: $V_2 = \frac{mR}{M \tan(\alpha_2)}$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{V_1}{V_2}$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{mR}{M \tan(\alpha_1)}}{\frac{mR}{M \tan(\alpha_2)}} = \frac{mR}{M \tan(\alpha_1)} \cdot \frac{M \tan(\alpha_2)}{mR} = \frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}$

Ответ: Отношение объемов газа равно $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\tan(\alpha_2)}{\tan(\alpha_1)}$.