Номер 758, страница 137 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Количество вещества идеального газа, $\nu = 5,0$ моль
Изменение температуры, $\Delta T = 10$ К
Зависимость температуры от объема, $T = k V^2$, где $k$ – постоянный коэффициент
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Найти:

Работу газа $A$.

Решение:

Работа, совершаемая газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$, вычисляется по формуле:
$A = \int_{V_1}^{V_2} P dV$
где $P$ – давление газа.

Для идеального газа справедливо уравнение состояния Менделеева-Клапейрона:
$PV = \nu RT$
Отсюда можно выразить давление:
$P = \frac{\nu RT}{V}$

По условию задачи, температура газа изменяется пропорционально квадрату его объема:
$T = k V^2$, где $k$ – некоторая константа пропорциональности.
Подставим это выражение в формулу для давления:
$P = \frac{\nu R (k V^2)}{V} = \nu R k V$
Мы видим, что в данном процессе давление газа прямо пропорционально его объему.

Теперь подставим полученное выражение для давления в интеграл для работы:
$A = \int_{V_1}^{V_2} (\nu R k V) dV$
Вынесем постоянные множители за знак интеграла и вычислим его:
$A = \nu R k \int_{V_1}^{V_2} V dV = \nu R k \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{\nu R k}{2} (V_2^2 - V_1^2)$

Из условия $T = k V^2$ следует, что $k V_1^2 = T_1$ и $k V_2^2 = T_2$, где $T_1$ и $T_2$ – начальная и конечная температуры газа.
Подставим эти соотношения в выражение для работы:
$A = \frac{\nu R}{2} (k V_2^2 - k V_1^2) = \frac{\nu R}{2} (T_2 - T_1)$
Так как $T_2 - T_1 = \Delta T$, то окончательная формула для работы газа в данном процессе имеет вид:
$A = \frac{\nu R \Delta T}{2}$

Подставим числовые значения и рассчитаем работу:
$A = \frac{5,0 \, \text{моль} \cdot 8,31 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 10 \, \text{К}}{2} = \frac{415,5 \, \text{Дж}}{2} = 207,75 \, \text{Дж}$

Округлим результат с учетом значащих цифр в исходных данных (две значащие цифры):
$A \approx 210$ Дж.

Ответ: $A \approx 210$ Дж.