Номер 943, страница 173 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Диаметр атома водорода, $d = 0,10$ нм

Элементарный заряд, $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Электрическая постоянная (коэффициент в законе Кулона), $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:

$d = 0,10 \text{ нм} = 0,10 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 1.0 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Найти:

Работу внешних сил для ионизации, $A$

Решение:

Ионизация атома водорода — это процесс отрыва электрона от ядра (протона). Чтобы ионизировать атом, необходимо совершить работу против сил электростатического притяжения между электроном и ядром. Эта работа равна энергии ионизации, которая по определению равна минимальной энергии, необходимой для удаления электрона из атома. Энергия ионизации равна модулю полной энергии электрона в атоме.

Полная энергия $E$ электрона на орбите складывается из его кинетической энергии $K$ и потенциальной энергии $W_p$ в электрическом поле ядра:

$E = K + W_p$

Потенциальная энергия взаимодействия электрона (заряд $-e$) и протона (заряд $+e$), находящихся на расстоянии $r$, вычисляется по формуле:

$W_p = k \frac{(+e)(-e)}{r} = -k \frac{e^2}{r}$

Радиус орбиты электрона $r$ связан с диаметром атома $d$ соотношением $r = d/2$.

В модели атома Бора, кулоновская сила притяжения электрона к ядру является центростремительной силой, удерживающей электрон на круговой орбите:

$F_{\text{кулон}} = F_{\text{ц.с.}}$

$k \frac{e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

где $m_e$ — масса электрона, $v$ — его скорость.

Из этого уравнения можно выразить кинетическую энергию $K = \frac{1}{2}m_e v^2$:

$m_e v^2 = k \frac{e^2}{r} \implies K = \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r}$

Теперь найдем полную энергию электрона в атоме:

$E = K + W_p = \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r} - k \frac{e^2}{r} = -\frac{1}{2} k \frac{e^2}{r}$

Знак «минус» означает, что электрон находится в связанном состоянии. Работа $A$, которую необходимо совершить внешним силам для ионизации атома, равна энергии, которую нужно сообщить электрону, чтобы его полная энергия стала равной нулю (что соответствует свободному электрону, покоящемуся на бесконечном удалении от ядра). Таким образом, работа равна модулю начальной полной энергии:

$A = E_{\text{конечная}} - E_{\text{начальная}} = 0 - E = -E = -(-\frac{1}{2} k \frac{e^2}{r}) = \frac{1}{2} k \frac{e^2}{r}$

Подставим в эту формулу выражение для радиуса через диаметр $r = d/2$:

$A = \frac{1}{2} k \frac{e^2}{d/2} = k \frac{e^2}{d}$

Выполним вычисления, подставив числовые значения:

$A = (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н·м²}}{\text{Кл²}}) \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{1.0 \cdot 10^{-10} \text{ м}}$

$A = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2.56 \cdot 10^{-38}}{1.0 \cdot 10^{-10}} \text{ Дж}$

$A = 23.04 \cdot 10^{9 - 38 + 10} \text{ Дж} = 23.04 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2.3 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Ответ: работа, которую должны совершить внешние силы, чтобы ионизировать атом водорода, составляет примерно $2.3 \cdot 10^{-18}$ Дж.