Номер 27.30, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

$f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$

Для того чтобы найти минимум функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, необходимо провести её исследование с помощью производной.

1. Область определения функции.

Функция представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может быть равен нулю.$x \neq 0$. Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде суммы двух слагаемых:$f(x) = \frac{x^2}{x} + \frac{4}{x} = x + \frac{4}{x}$. Теперь найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x + \frac{4}{x})' = (x)' + (4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

Приведём производную к общему знаменателю для дальнейшего анализа:

$f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.

3. Нахождение критических точек функции.

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Производная $f'(x)$ не существует при $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции. Найдём стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $x \neq 0$ уже учтено в области определения.$x^2 - 4 = 0$$x^2 = 4$Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

4. Анализ знаков производной и интервалов монотонности.

Критические точки $x=-2$ и $x=2$ разбивают область определения на следующие интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}$ на каждом из этих интервалов. Так как знаменатель $x^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения, знак производной зависит только от знака числителя $x^2 - 4$.

- На интервале $(-\infty; -2)$, например при $x=-3$, $f'(-3) = \frac{(-3)^2-4}{(-3)^2} = \frac{5}{9} > 0$, следовательно, функция возрастает.

- На интервале $(-2; 0)$, например при $x=-1$, $f'(-1) = \frac{(-1)^2-4}{(-1)^2} = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(0; 2)$, например при $x=1$, $f'(1) = \frac{1^2-4}{1^2} = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.

- На интервале $(2; +\infty)$, например при $x=3$, $f'(3) = \frac{3^2-4}{3^2} = \frac{5}{9} > 0$, следовательно, функция возрастает.

5. Определение минимума функции.

По результатам анализа знаков производной: - В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. - В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. Минимум функции — это её значение в точке минимума. Вычислим значение функции при $x=2$:

$f_{min} = f(2) = \frac{2^2 + 4}{2} = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

27.30. Ответ: 4.