Номер 1039, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1039. В треугольнике площадью $6\sqrt{3}$ $\text{см}^2$ меньшая сторона равна 4 см, а угол при ней — $150^\circ$. Найдите большую сторону треугольника.

Пусть в треугольнике стороны равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, площадь $S = 6\sqrt{3}$ см², одна из сторон равна 4 см, и угол, прилежащий к ней, равен 150°. Обозначим эту сторону как $a = 4$ см. Пусть угол $\gamma = 150°$ — это угол между сторонами $a$ и $b$.

1. Нахождение второй стороны

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Подставим известные значения, чтобы найти сторону $b$.

Значение синуса для угла 150°: $\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$.

$6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot b \cdot \sin(150°)$

$6\sqrt{3} = 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2}$

$6\sqrt{3} = b$

Таким образом, вторая сторона треугольника равна $b = 6\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение третьей стороны

Теперь найдем третью сторону $c$, которая лежит напротив угла $\gamma$, используя теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$.

Значение косинуса для угла 150°: $\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значения $a=4$, $b=6\sqrt{3}$ и $\cos(150°)$:$c^2 = 4^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$c^2 = 16 + (36 \cdot 3) + \frac{2 \cdot 4 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 16 + 108 + 4 \cdot 6 \cdot 3$

$c^2 = 124 + 72$

$c^2 = 196$

$c = \sqrt{196} = 14$ см.

3. Определение большей стороны

Мы нашли все три стороны треугольника: $a = 4$ см, $b = 6\sqrt{3}$ см и $c = 14$ см. Сравним их длины.

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $b = 6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 = 10.392$ см.

Сравнивая стороны, получаем: $4 < 10.392 < 14$, то есть $a < b < c$.

Условие, что сторона 4 см является меньшей, выполняется. Большая сторона треугольника — 14 см. Также стоит отметить, что в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Угол 150° является тупым и, следовательно, наибольшим в треугольнике, поэтому сторона $c$, лежащая напротив него, и будет самой большой.

Ответ: 14 см.