Номер 1046, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1046. Найдите стороны треугольника, учитывая, что:

а) одна из них вдвое меньше другой и на 8 см меньше третьей, а площадь треугольника равна $16\sqrt{5}\text{ см}^2$;

б) лучи, выходящие из центра вписанного круга и проходящие через вершины треугольника, разделяют его на части с площадями $12\text{ см}^2$, $39\text{ см}^2$ и $45\text{ см}^2$ (рис. 323);

в) радиусы окружностей, каждая из которых касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон, равны $2\text{ см}$, $3\text{ см}$ и $6\text{ см}$.

Рис. 323

а)

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. Согласно условию, одна сторона вдвое меньше другой и на 8 см меньше третьей. Выразим все стороны через одну переменную. Пусть меньшая сторона равна $x$ см. Тогда другая сторона равна $2x$ см, а третья — $(x+8)$ см.

Таким образом, стороны треугольника: $a = x$, $b = 2x$, $c = x+8$.

Площадь треугольника $S$ равна $16\sqrt{5}$ см². Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{x + 2x + (x+8)}{2} = \frac{4x+8}{2} = 2x+4$

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{(2x+4)((2x+4)-x)((2x+4)-2x)((2x+4)-(x+8))}$

$16\sqrt{5} = \sqrt{(2x+4)(x+4)(4)(x-4)}$

Для существования треугольника необходимо, чтобы $x-4 > 0$, то есть $x > 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(16\sqrt{5})^2 = (2x+4)(x+4)(4)(x-4)$

$256 \cdot 5 = 4 \cdot 2(x+2)(x+4)(x-4)$

$1280 = 8(x+2)(x^2-16)$

Разделим обе части на 8:

$160 = (x+2)(x^2-16)$

$160 = x^3 - 16x + 2x^2 - 32$

$x^3 + 2x^2 - 16x - 192 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей числа 192. Учитывая, что $x > 4$, проверим $x=6$:

$6^3 + 2 \cdot 6^2 - 16 \cdot 6 - 192 = 216 + 2 \cdot 36 - 96 - 192 = 216 + 72 - 96 - 192 = 288 - 288 = 0$

Корень $x=6$ подходит. Найдем стороны треугольника:

$a = x = 6$ см

$b = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см

$c = x+8 = 6+8 = 14$ см

Ответ: 6 см, 12 см, 14 см.

б)

Лучи, выходящие из центра вписанной окружности (инцентра) к вершинам, делят треугольник на три меньших треугольника. Основаниями этих треугольников являются стороны исходного треугольника $a, b, c$, а высоты у них одинаковы и равны радиусу вписанной окружности $r$.

Площади этих трех треугольников ($S_a, S_b, S_c$) равны $12$ см², $39$ см² и $45$ см².

$S_a = \frac{1}{2}ar = 12$

$S_b = \frac{1}{2}br = 39$

$S_c = \frac{1}{2}cr = 45$

Отсюда можно выразить стороны через радиус $r$:

$a = \frac{24}{r}$, $b = \frac{78}{r}$, $c = \frac{90}{r}$

Общая площадь треугольника $S$ равна сумме площадей его частей:

$S = 12 + 39 + 45 = 96$ см²

Также площадь треугольника связана с полупериметром $p$ и радиусом вписанной окружности формулой $S = pr$.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{24}{r} + \frac{78}{r} + \frac{90}{r} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{192}{r} = \frac{96}{r}$

Подставим выражение для $p$ в формулу площади:

$S = p \cdot r \Rightarrow 96 = \frac{96}{r} \cdot r \Rightarrow 96 = 96$

Это тождество, поэтому используем другой метод. Применим формулу Герона. У нас есть $S=96$, $p = 96/r$ и стороны $a, b, c$.

$p-a = \frac{96}{r} - \frac{24}{r} = \frac{72}{r}$

$p-b = \frac{96}{r} - \frac{78}{r} = \frac{18}{r}$

$p-c = \frac{96}{r} - \frac{90}{r} = \frac{6}{r}$

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{\frac{96}{r} \cdot \frac{72}{r} \cdot \frac{18}{r} \cdot \frac{6}{r}} = \sqrt{\frac{96 \cdot 72 \cdot 18 \cdot 6}{r^4}}$

$96 = \frac{\sqrt{746496}}{r^2} = \frac{864}{r^2}$

$r^2 = \frac{864}{96} = 9 \Rightarrow r = 3$ см.

Теперь найдем длины сторон:

$a = \frac{24}{3} = 8$ см

$b = \frac{78}{3} = 26$ см

$c = \frac{90}{3} = 30$ см

Ответ: 8 см, 26 см, 30 см.

в)

Окружности, каждая из которых касается одной стороны треугольника и продолжений двух других, называются вневписанными. Их радиусы обозначаются как $r_a, r_b, r_c$ в зависимости от того, какой стороны ($a, b$ или $c$) они касаются.

По условию, $r_a = 2$ см, $r_b = 3$ см, $r_c = 6$ см.

Существует формула, связывающая радиусы вписанной ($r$) и вневписанных окружностей:

$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}$

Подставим известные значения, чтобы найти радиус вписанной окружности $r$:

$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow r = 1$ см.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \sqrt{r \cdot r_a \cdot r_b \cdot r_c}$:

$S = \sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6$ см².

Теперь, зная площадь и радиус вписанной окружности, найдем полупериметр $p$ из формулы $S = pr$:

$6 = p \cdot 1 \Rightarrow p = 6$ см.

Для нахождения сторон воспользуемся формулами, связывающими площадь, полупериметр и радиусы вневписанных окружностей: $S = r_a(p-a)$, $S = r_b(p-b)$, $S = r_c(p-c)$.

Для стороны $a$:

$6 = 2(6-a) \Rightarrow 3 = 6-a \Rightarrow a = 3$ см.

Для стороны $b$:

$6 = 3(6-b) \Rightarrow 2 = 6-b \Rightarrow b = 4$ см.

Для стороны $c$:

$6 = 6(6-c) \Rightarrow 1 = 6-c \Rightarrow c = 5$ см.

Ответ: 3 см, 4 см, 5 см.