Номер 1053, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1053. Докажите, что углы любого треугольника связаны равенством:

а) $ \sin^2 C = \sin^2 A + \sin^2 B - 2 \sin A \sin B \cos C $;

б) $ 1 - 2 \sin A \sin B \cos C = \cos^2 A + \cos^2 B - \cos^2 C $.

a) Докажем равенство $ \sin^2 C = \sin^2 A + \sin^2 B - 2 \sin A \sin B \cos C $.

Данное равенство представляет собой тригонометрическую формулировку теоремы косинусов. Для его доказательства воспользуемся теоремой косинусов и теоремой синусов для произвольного треугольника со сторонами $ a, b, c $ и противолежащими им углами $ A, B, C $.

Согласно теореме косинусов для стороны $ c $:

$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $

Согласно теореме синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $, где $ R $ — радиус описанной окружности треугольника.

Из теоремы синусов выразим стороны треугольника через синусы углов:

$ a = 2R \sin A $

$ b = 2R \sin B $

$ c = 2R \sin C $

Подставим эти выражения для сторон $ a, b, c $ в формулу теоремы косинусов:

$ (2R \sin C)^2 = (2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 - 2(2R \sin A)(2R \sin B) \cos C $

Возведем в квадрат и упростим:

$ 4R^2 \sin^2 C = 4R^2 \sin^2 A + 4R^2 \sin^2 B - 8R^2 \sin A \sin B \cos C $

Поскольку для невырожденного треугольника радиус описанной окружности $ R \neq 0 $, мы можем разделить обе части уравнения на $ 4R^2 $:

$ \sin^2 C = \sin^2 A + \sin^2 B - 2 \sin A \sin B \cos C $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \sin^2 C = \sin^2 A + \sin^2 B - 2 \sin A \sin B \cos C $ доказано.

б) Докажем равенство $ 1 - 2 \sin A \sin B \cos C = \cos^2 A + \cos^2 B - \cos^2 C $.

Воспользуемся равенством, доказанным в пункте а):

$ \sin^2 C = \sin^2 A + \sin^2 B - 2 \sin A \sin B \cos C $

Преобразуем это равенство, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $. Заменим все члены $ \sin^2 $ на выражения с $ \cos^2 $:

$ 1 - \cos^2 C = (1 - \cos^2 A) + (1 - \cos^2 B) - 2 \sin A \sin B \cos C $

Упростим правую часть:

$ 1 - \cos^2 C = 1 - \cos^2 A + 1 - \cos^2 B - 2 \sin A \sin B \cos C $

$ 1 - \cos^2 C = 2 - \cos^2 A - \cos^2 B - 2 \sin A \sin B \cos C $

Теперь перенесем члены с косинусами в квадрате на одну сторону, а остальные члены — на другую, чтобы получить доказываемое равенство. Перенесем $ -\cos^2 A $ и $ -\cos^2 B $ влево, а $ 1 $ и $ -\cos^2 C $ вправо:

$ \cos^2 A + \cos^2 B - \cos^2 C = 2 - 1 - 2 \sin A \sin B \cos C $

Выполним вычитание в правой части:

$ \cos^2 A + \cos^2 B - \cos^2 C = 1 - 2 \sin A \sin B \cos C $

Это и есть то равенство, которое требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ 1 - 2 \sin A \sin B \cos C = \cos^2 A + \cos^2 B - \cos^2 C $ доказано.