Номер 1089, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1089. На стороне треугольника площадью $162 \text{ м}^2$ выбраны две точки, разделяющие ее в отношении $2:3:4$. Через эти точки проведены прямые, параллельные стороне треугольника. Найдите площади частей, на которые эти прямые разделили треугольник.

Пусть дан треугольник $ABC$ с площадью $S_{ABC} = 162 \text{ м}^2$. На одной из его сторон, например $AB$, выбраны две точки $D$ и $E$, которые делят эту сторону в отношении $AD : DE : EB = 2 : 3 : 4$. Через эти точки проведены прямые, параллельные другой стороне треугольника, например $BC$. Эти прямые пересекают третью сторону $AC$ в точках $D'$ и $E'$ соответственно. В результате исходный треугольник разделяется на три фигуры: верхний треугольник $ADD'$, среднюю трапецию $DEE'D'$ и нижнюю трапецию $EBCE'$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины отрезков на стороне $AB$ будут равны $AD = 2x$, $DE = 3x$ и $EB = 4x$. Длина всей стороны $AB$ составит: $AB = AD + DE + EB = 2x + 3x + 4x = 9x$.

Так как прямые $DD'$ и $EE'$ параллельны стороне $BC$, то они отсекают от исходного треугольника $ABC$ два меньших треугольника ($ADD'$ и $AEE'$), которые подобны исходному треугольнику: $\triangle ADD' \sim \triangle ABC$ $\triangle AEE' \sim \triangle ABC$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Мы можем использовать это свойство для нахождения площадей.

1. Найдем площадь наименьшей части (треугольника $ADD'$).
Коэффициент подобия $k_1$ для треугольников $ADD'$ и $ABC$ равен отношению их сторон: $k_1 = \frac{AD}{AB} = \frac{2x}{9x} = \frac{2}{9}$. Отношение их площадей равно $k_1^2$: $\frac{S_{ADD'}}{S_{ABC}} = k_1^2 = (\frac{2}{9})^2 = \frac{4}{81}$. Площадь треугольника $ADD'$, который является первой частью ($S_1$), равна: $S_1 = S_{ADD'} = \frac{4}{81} \times S_{ABC} = \frac{4}{81} \times 162 = 4 \times 2 = 8 \text{ м}^2$.

2. Найдем площадь средней части (трапеции $DEE'D'$).
Сначала найдем площадь треугольника $AEE'$. Его коэффициент подобия $k_2$ по отношению к $\triangle ABC$ равен: $AE = AD + DE = 2x + 3x = 5x$. $k_2 = \frac{AE}{AB} = \frac{5x}{9x} = \frac{5}{9}$. Площадь треугольника $AEE'$ равна: $S_{AEE'} = (\frac{5}{9})^2 \times S_{ABC} = \frac{25}{81} \times 162 = 25 \times 2 = 50 \text{ м}^2$. Площадь средней части ($S_2$), трапеции $DEE'D'$, равна разности площадей треугольников $AEE'$ и $ADD'$: $S_2 = S_{AEE'} - S_{ADD'} = 50 - 8 = 42 \text{ м}^2$.

3. Найдем площадь наибольшей части (трапеции $EBCE'$).
Площадь нижней части ($S_3$) равна разности площадей всего треугольника $ABC$ и треугольника $AEE'$: $S_3 = S_{ABC} - S_{AEE'} = 162 - 50 = 112 \text{ м}^2$.

Таким образом, площади трех частей, на которые был разделен треугольник, составляют $8 \text{ м}^2$, $42 \text{ м}^2$ и $112 \text{ м}^2$. Проверка: $8 + 42 + 112 = 162 \text{ м}^2$.

Ответ: Площади частей, на которые прямые разделили треугольник, равны $8 \text{ м}^2$, $42 \text{ м}^2$ и $112 \text{ м}^2$.