Номер 1093, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1093. Ребро куба равно $a$. Через центр куба проводят плоскость, параллельную диагоналям двух смежных граней. Найдите возможные значения площади сечения.

Введем систему координат, поместив одну из вершин куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ в начало координат $A(0,0,0)$. Ребра куба направим вдоль осей: $AB$ вдоль оси $Ox$, $AD$ вдоль оси $Oy$, $AA_1$ вдоль оси $Oz$. Тогда вершины куба будут иметь координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$, $D_1(0,a,a)$, $C_1(a,a,a)$. Центр куба $M$ находится в точке с координатами $M(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.

Условие, что секущая плоскость параллельна "диагоналям двух смежных граней", можно трактовать двумя способами, так как не уточнено, как именно выбираются эти две диагонали.

Первый случай: плоскость параллельна двум диагоналям, взятым по одной из каждой смежной грани. Возьмем две смежные грани: нижнюю $ABCD$ (в плоскости $z=0$) и переднюю $ABB_1A_1$ (в плоскости $y=0$).Выберем по одной диагонали на каждой из этих граней. Например, диагональ $AC$ на грани $ABCD$ и диагональ $AB_1$ на грани $ABB_1A_1$. Эти диагонали имеют общий конец в вершине $A$. Вектор диагонали $AC$: $\vec{d_1} = \vec{AC} = C - A = (a, a, 0)$. Вектор диагонали $AB_1$: $\vec{d_2} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (a, 0, a)$. Секущая плоскость параллельна этим двум векторам, следовательно, ее вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен обоим векторам. Найдем $\vec{n}$ как векторное произведение:$\vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} - a^2\mathbf{k} = (a^2, -a^2, -a^2)$. В качестве вектора нормали можно взять коллинеарный ему вектор $(1, -1, -1)$. Уравнение плоскости имеет вид $x - y - z + D = 0$. Так как плоскость проходит через центр куба $M(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, подставим его координаты в уравнение:$\frac{a}{2} - \frac{a}{2} - \frac{a}{2} + D = 0 \Rightarrow D = \frac{a}{2}$. Уравнение секущей плоскости: $x - y - z + \frac{a}{2} = 0$. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Пересечениями будут середины ребер $BC$, $CD$, $DD_1$, $A_1D_1$, $A_1B_1$, $BB_1$. Сечением является правильный шестиугольник. Найдем длину стороны этого шестиугольника, например, между серединами ребер $BC$ (точка $P_1(a, \frac{a}{2}, 0)$) и $CD$ (точка $P_2(\frac{a}{2}, a, 0)$).Длина стороны $s = \sqrt{(a-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2}-a)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{a^2}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2$. Если выбрать другие пары диагоналей (например, скрещивающиеся), результат будет тот же.

Второй случай: плоскость параллельна двум диагоналям, принадлежащим одной и той же грани (из двух упомянутых смежных).Возьмем, к примеру, грань $ABCD$. Ее диагонали - $AC$ и $BD$. Вектор диагонали $AC$: $\vec{d_1} = (a, a, 0)$. Вектор диагонали $BD$: $\vec{d_2} = D - B = (0, a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, a, 0)$. Найдем вектор нормали к плоскости, параллельной этим двум диагоналям:$\vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = (0)\mathbf{i} - (0)\mathbf{j} + (a^2 - (-a^2))\mathbf{k} = (0, 0, 2a^2)$. В качестве вектора нормали можно взять вектор $(0, 0, 1)$. Уравнение плоскости имеет вид $z + D = 0$. Так как плоскость проходит через центр куба $M(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, получаем:$\frac{a}{2} + D = 0 \Rightarrow D = -\frac{a}{2}$. Уравнение секущей плоскости: $z = \frac{a}{2}$. Эта плоскость параллельна основанию $ABCD$ и проходит через середины вертикальных ребер $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$. Сечением является квадрат, стороны которого равны ребру куба $a$. Площадь этого сечения равна $S_2 = a^2$.

Таким образом, существуют два возможных значения для площади сечения.

Ответ: $a^2$ и $\frac{3\sqrt{3}}{4} a^2$.