Номер 1119, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1119. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна $800 \text{ см}^2$. Найдите объем этой призмы, учитывая, что ее боковое ребро на 5 см больше ребра основания.

Поскольку призма является правильной четырехугольной, в ее основании лежит квадрат, а боковые грани — равные прямоугольники.

Обозначим сторону основания призмы как a, а боковое ребро, которое также является высотой призмы, как h.

Согласно условию задачи, боковое ребро на 5 см больше ребра основания. Это можно записать в виде уравнения:
$h = a + 5$

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей двух оснований ($2S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь одного основания (квадрата) равна:
$S_{осн} = a^2$

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырех одинаковых прямоугольных граней со сторонами a и h:
$S_{бок} = 4ah$

Таким образом, формула для площади полной поверхности призмы выглядит так:
$S_{полн} = 2a^2 + 4ah$

По условию $S_{полн} = 800$ см². Подставим это значение, а также выражение для h ($h = a + 5$) в формулу:
$800 = 2a^2 + 4a(a+5)$

Теперь решим полученное уравнение:
$800 = 2a^2 + 4a^2 + 20a$
$6a^2 + 20a - 800 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$3a^2 + 10a - 400 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-400) = 100 + 4800 = 4900$
$\sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70$

Теперь найдем значения a:
$a_1 = \frac{-10 + 70}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$
$a_2 = \frac{-10 - 70}{2 \cdot 3} = \frac{-80}{6} \approx -13.33$

Так как длина ребра основания не может быть отрицательной, мы принимаем значение $a = 10$ см.

Найдем высоту призмы h:
$h = a + 5 = 10 + 5 = 15$ см.

Объем призмы (V) находится по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h$

Подставим найденные значения a и h в формулу объема:
$V = 10^2 \cdot 15 = 100 \cdot 15 = 1500$ см³.

Ответ: 1500 см³.