Номер 1124, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1124. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ с боковым ребром 13 см вершина $A_1$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$. Найдите полную поверхность призмы, учитывая, что $AB = AC = 10$ см, $BC = 12$ см.

Полная поверхность призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Нахождение площади основания призмы.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = AC = 10$ см и $BC = 12$ см.
Для нахождения площади основания проведем высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$. По теореме Пифагора:
$AM^2 + BM^2 = AB^2$
$AM^2 + 6^2 = 10^2$
$AM^2 + 36 = 100$
$AM^2 = 64$
$AM = 8$ см.
Теперь найдем площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

2. Нахождение площади боковой поверхности призмы.

Боковая поверхность состоит из трех параллелограммов: $ABB_1A_1$, $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Длина бокового ребра призмы $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 13$ см.

По условию, вершина $A_1$ равноудалена от вершин $A, B$ и $C$. Это означает, что $A_1A = A_1B = A_1C$.
Поскольку $A_1A$ — это боковое ребро длиной 13 см, то $A_1A = A_1B = A_1C = 13$ см.

Площадь грани $ABB_1A_1$.
Эта грань — параллелограмм со сторонами $AB = 10$ см и $AA_1 = 13$ см. Диагональ этого параллелограмма $A_1B$ равна 13 см. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $A_1AB$.
Треугольник $A_1AB$ — равнобедренный со сторонами $A_1A = A_1B = 13$ см и $AB = 10$ см.
Найдем его высоту $h_1$, проведенную к стороне $AB$:
$h_1 = \sqrt{13^2 - (\frac{10}{2})^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.
Площадь треугольника $A_1AB$: $S_{\triangle A_1AB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$.
Площадь параллелограмма $ABB_1A_1$ равна $S_{ABB_1A_1} = 2 \cdot S_{\triangle A_1AB} = 2 \cdot 60 = 120$ см$^2$.

Площадь грани $ACC_1A_1$.
Эта грань — параллелограмм со сторонами $AC = 10$ см и $AA_1 = 13$ см. Диагональ $A_1C$ равна 13 см. Треугольник $A_1AC$ конгруэнтен треугольнику $A_1AB$, поэтому площадь грани $ACC_1A_1$ равна площади грани $ABB_1A_1$.
$S_{ACC_1A_1} = 120$ см$^2$.

Площадь грани $BCC_1B_1$.
Эта грань — параллелограмм со сторонами $BC = 12$ см и $BB_1 = 13$ см.
Проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$ — это точка $O$, центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, его высота и медиана $AM$ является его осью симметрии, и центр $O$ лежит на прямой $AM$.
Прямая $AM$ перпендикулярна прямой $BC$. Проекция бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания — это отрезок $AO$, который лежит на прямой $AM$. Следовательно, проекция ребра $AA_1$ перпендикулярна $BC$.
Если проекция наклонной ($AA_1$) на плоскость перпендикулярна прямой ($BC$) в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $AA_1 \perp BC$.
Поскольку боковые ребра призмы параллельны ($BB_1 \parallel AA_1$), то и $BB_1 \perp BC$.
Это означает, что параллелограмм $BCC_1B_1$ является прямоугольником.
Его площадь равна произведению сторон:
$S_{BCC_1B_1} = BC \cdot BB_1 = 12 \cdot 13 = 156$ см$^2$.

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{ACC_1A_1} + S_{BCC_1B_1} = 120 + 120 + 156 = 396$ см$^2$.

3. Нахождение полной поверхности призмы.

Подставим найденные значения в формулу для полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 396 + 2 \cdot 48 = 396 + 96 = 492$ см$^2$.

Ответ: $492$ см$^2$.